Approcher une intégrale par la méthode des rectangles

Approcher $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ numériquement en découpant l'intervalle en $n$ sous-intervalles égaux.

L'objectif

Approcher $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ numériquement en découpant l'intervalle en $n$ sous-intervalles égaux.

Le principe

On approche la courbe par des rectangles de largeur $h = (b-a)/n$ : l'aire totale des rectangles converge vers l'intégrale quand $n \to +\infty$ .

La méthode

1
Calculer le pas $h = \dfrac{b-a}{n}$ et les abscisses $x_i = a + i \cdot h$ pour $i = 0, 1, \ldots, n-1$ (rectangles à gauche) ou $i = 1, \ldots, n$ (rectangles à droite).
2
Calculer la somme $S = h\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$ (méthode à gauche) ou $S = h\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)$ (méthode à droite).
3
La valeur $S$ est une approximation de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ ; plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

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Exercice d'exemple

Approcher $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à gauche avec $n = 4$ .

Étape 1 —

Calculer le pas

h = \dfrac{b-a}{n}

et les abscisses

x_i = a + i \cdot h

pour

i = 0, 1, \ldots, n-1

(rectangles à gauche) ou

i = 1, \ldots, n

(rectangles à droite).

$h = \frac{1-0}{4} = 0{,}25$ . Les abscisses à gauche sont $x_0 = 0$ , $x_1 = 0{,}25$ , $x_2 = 0{,}5$ , $x_3 = 0{,}75$ .

Étape 2 —

Calculer la somme

S = h\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)

(méthode à gauche) ou

S = h\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)

(méthode à droite).

$S = 0{,}25\times(f(0)+f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)) = 0{,}25\times(0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625) = 0{,}25\times 0{,}875 = 0{,}21875$ .

Étape 3 —

La valeur

S

est une approximation de

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

; plus

n

est grand, meilleure est l'approximation.

La valeur exacte est $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$ ; l'approximation $0{,}219$ est inférieure car $f$ est croissante (les rectangles à gauche sous-estiment).

$S \approx 0{,}219$ (valeur exacte $\frac{1}{3}$ )

Application guidée

Approcher $\int_1^3 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à droite avec $n = 4$ .

Application autonome 1

Approcher $\int_0^2 e^x\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à gauche avec $n = 4$ .

Application autonome 2

Approcher $\displaystyle\int_0^{2} \ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à gauche avec $n = 4$ .

Application autonome 3

Approcher $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{x}\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles à droite avec $n = 5$ .

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