Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ à l'aide de la formule intégrale.

L'objectif

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ à l'aide de la formule intégrale.

Le principe

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\bar{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ , l'intervalle $[a,b]$ et calculer la longueur $b - a$ .
2
Calculer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une primitive.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
3
Diviser le résultat par $(b-a)$ pour obtenir $\bar{f}$ , et interpréter si le contexte le demande (température moyenne, vitesse moyenne, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

, l'intervalle

[a,b]

et calculer la longueur

b - a

$b - a = 3 - 0 = 3$ .

Étape 2 —

Calculer

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

à l'aide d'une primitive.

$\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9$ .

Étape 3 —

Diviser le résultat par

(b-a)

pour obtenir

\bar{f}

, et interpréter si le contexte le demande (température moyenne, vitesse moyenne, etc.).

$\bar{f} = \frac{9}{3} = 3$ .

$\bar{f} = 3$

Application guidée

La concentration $c(t)$ (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée par $c(t) = 20\,e^{-0{,}2t}$ pour $t \in [0, 10]$ (en heures). Calculer la concentration moyenne sur cet intervalle.

Application autonome 1

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = e^{2x}$ sur $[0, 1]$ .

Application autonome 2

Le coût marginal d'une entreprise est $C'(q) = 3q^2 - 8q + 7$ pour $q \in [1, 4]$ (en k\text{€}). Calculer le coût marginal moyen.

Application autonome 3

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \dfrac{1}{x+1}$ sur $[0, e-1]$ .

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