Utiliser la relation de Chasles

Décomposer $\int_a^b f$ en deux intégrales pour gérer un changement de signe ou simplifier le calcul.

L'objectif

Décomposer $\int_a^b f$ en deux intégrales pour gérer un changement de signe ou simplifier le calcul.

Le principe

Pour tout réel $c \in [a,b]$ , $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier le point $c$ pertinent : zéro de $f$ (changement de signe), ou point de raccord d'une fonction définie par morceaux.
2
Écrire $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ en appliquant la relation de Chasles.
3
Calculer chacune des deux intégrales séparément à l'aide d'une primitive, puis additionner les résultats.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

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Exercice d'exemple

Calculer $\int_{-1}^{2} (x-1)\,\mathrm{d}x$ en utilisant la relation de Chasles.

Étape 1 —

Identifier le point

c

pertinent : zéro de

f

(changement de signe), ou point de raccord d'une fonction définie par morceaux.

$f(x) = x - 1$ s'annule en $x = 1 \in [-1, 2]$ ; on choisit $c = 1$ .

Étape 2 —

Écrire

\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f

en appliquant la relation de Chasles.

$\int_{-1}^{2}(x-1)\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{1}(x-1)\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2}(x-1)\,\mathrm{d}x$ .

Étape 3 —

Calculer chacune des deux intégrales séparément à l'aide d'une primitive, puis additionner les résultats.

Une primitive est $F(x) = \frac{x^2}{2} - x$ . $\int_{-1}^{1} = F(1)-F(-1) = (\frac{1}{2}-1)-(\frac{1}{2}+1) = -2$ ; $\int_{1}^{2} = F(2)-F(1) = (2-2)-(\frac{1}{2}-1) = \frac{1}{2}$ . Somme : $-2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ .

$\int_{-1}^{2}(x-1)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{3}{2}$

Application guidée

Calculer $\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ où $f(x) = x^2$ si $x \leq 1$ et $f(x) = x$ si $x > 1$ .

Application autonome 1

Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{2} (e^x - e)\,\mathrm{d}x$ en utilisant la relation de Chasles au point $c = 1$ .

Application autonome 2

Calculer $\int_{-2}^{3}(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x$ en repérant le changement de signe.

Application autonome 3

Calculer $I = \displaystyle\int_{-1}^{2} |x|\,\mathrm{d}x$ en utilisant la relation de Chasles.

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