Comment résoudre une équation ou inéquation à l'aide du tableau de variations ? | MetMat

Comment résoudre une équation ou inéquation à l'aide du tableau de variations ?

Résoudre une équation ou inéquation grâce au tableau de variations

Déterminer le nombre de solutions de $f(x) = k$ et résoudre $f(x) \geq k$ (ou $\leq k$) en lisant le tableau de variations.

L'objectif

Déterminer le nombre de solutions de $f(x) = k$ et résoudre $f(x) \geq k$ (ou $\leq k$ ) en lisant le tableau de variations.

Le principe

Le tableau de variations permet de visualiser les intersections de la courbe avec la droite $y = k$ : le nombre de solutions est le nombre de fois que la valeur $k$ est atteinte par la flèche de variation, et le signe de $f(x)-k$ se lit directement sur chaque intervalle.

La méthode

1
Dresser (ou utiliser) le tableau de variations complet de $f$ sur le domaine considéré, avec les valeurs aux extremums.
Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?Voir
2
Pour l'équation $f(x) = k$ : tracer mentalement (ou sur le tableau) la valeur $k$ et compter combien de fois la flèche de variation croise cette valeur. Sur un intervalle de croissance de $m$ vers $M$ , $f(x) = k$ admet une solution si $m \leq k \leq M$ , et cette solution est unique si $f$ est strictement monotone sur cet intervalle.
3
Pour l'inéquation $f(x) \geq k$ : sur chaque sous-intervalle monotone, déterminer si $f(x) \geq k$ (comparer $k$ aux valeurs extrêmes de $f$ sur cet intervalle). Réunir les intervalles solutions.
4
Conclure en écrivant l'ensemble solution de l'équation (liste des solutions) ou de l'inéquation (union d'intervalles).

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Application guidée 1

À partir du tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ (maximum $4$ en $-1$ , minimum $0$ en $1$ ), résoudre $f(x) = 0$ .

Application guidée 2

À partir du tableau de variations de $g(x) = xe^{-x}$ (maximum $\frac{1}{e}$ en $x=1$ , $g \to -\infty$ en $-\infty$ , $g \to 0$ en $+\infty$ ), résoudre $g(x) \geq 0$ .

Application autonome 1

À partir du tableau de variations de $k(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ (maximum $1$ en $x=1$ , minimum $0$ en $x=2$ ), résoudre $k(x) = 1$ .

Application autonome 2

À partir du tableau de variations de $h(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 2$ (minimum $-2$ en $x = 1$ , maximum $2$ en $x = 3$ , $h \to +\infty$ en $-\infty$ , $h \to -\infty$ en $+\infty$ ), résoudre $h(x) = 2$ .

Application autonome 3

À partir du tableau de variations de $q(x) = (x-2)e^{-x}$ ( $q$ croît de $-\infty$ vers $e^{-3}$ sur $]-\infty ; 3]$ , décroît de $e^{-3}$ vers $0$ sur $[3 ; +\infty[$ ), résoudre $q(x) > 0$ .

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