Comment trouver une valeur approchée d'une solution de $f(x)=k$ ? | MetMat

Comment trouver une valeur approchée d'une solution de $f(x)=k$ ?

Trouver une valeur approchée par la méthode de balayage

Encadrer une solution de $f(x) = k$ à la précision souhaitée en parcourant un intervalle avec un pas fixe.

L'objectif

Encadrer une solution de $f(x) = k$ à la précision souhaitée en parcourant un intervalle avec un pas fixe.

Le principe

On subdivise l'intervalle de recherche en sous-intervalles de longueur égale au pas choisi, et on détecte le sous-intervalle où $f(x) - k$ change de signe.

La méthode

1
Choisir un pas $h$ égal à la précision souhaitée (ex : $h = 0{,}1$ pour une précision au dixième). Définir le point de départ $x_0 = a$ et poser $g(x) = f(x) - k$ .
2
Calculer successivement $g(x_0), g(x_1), g(x_2), \ldots$ avec $x_{n+1} = x_n + h$ , jusqu'à détecter un changement de signe entre $g(x_n)$ et $g(x_{n+1})$ .
3
Lorsque $g(x_n)$ et $g(x_{n+1})$ sont de signes opposés, conclure que la solution est dans $[x_n ; x_{n+1}]$ .
4
Donner l'encadrement $x_n \leq c \leq x_{n+1}$ et, si nécessaire, recommencer avec un pas plus fin sur $[x_n ; x_{n+1}]$ pour augmenter la précision.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Encadrer à $0{,}1$ près une solution de $x^2 - 2 = 0$ dans $[1 ; 2]$ par balayage.

Étape 1 —

Choisir un pas

h

égal à la précision souhaitée (ex :

h = 0{,}1

pour une précision au dixième). Définir le point de départ

x_0 = a

et poser

g(x) = f(x) - k

On pose $g(x) = x^2 - 2$ , pas $h = 0{,}1$ , départ $x_0 = 1$ .

Étape 2 —

Calculer successivement

g(x_0), g(x_1), g(x_2), \ldots

avec

x_{n+1} = x_n + h

, jusqu'à détecter un changement de signe entre

g(x_n)

g(x_{n+1})

$g(1) = -1 < 0$ , $g(1{,}1) = 1{,}21 - 2 = -0{,}79 < 0$ , $g(1{,}2) = 1{,}44 - 2 = -0{,}56 < 0$ , $g(1{,}3) = 1{,}69 - 2 = -0{,}31 < 0$ , $g(1{,}4) = 1{,}96 - 2 = -0{,}04 < 0$ , $g(1{,}5) = 2{,}25 - 2 = 0{,}25 > 0$ . Changement de signe entre $1{,}4$ et $1{,}5$ .

Étape 3 —

Lorsque

g(x_n)

g(x_{n+1})

sont de signes opposés, conclure que la solution est dans

[x_n ; x_{n+1}]

$g(1{,}4) < 0$ et $g(1{,}5) > 0$ : la solution est dans $[1{,}4 ; 1{,}5]$ .

Étape 4 —

Donner l'encadrement

x_n \leq c \leq x_{n+1}

et, si nécessaire, recommencer avec un pas plus fin sur

[x_n ; x_{n+1}]

pour augmenter la précision.

Encadrement : $1{,}4 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}5$ . Valeur approchée : $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ à $10^{-1}$ près.

$1{,}4 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}5$ .

Application guidée

Encadrer à $0{,}1$ près une solution de $e^x - x - 2 = 0$ dans $[1 ; 2]$ par balayage.

Application autonome 1

Encadrer à $0{,}01$ près une solution de $x^3 - x - 1 = 0$ dans $[1{,}3 ; 1{,}4]$ par balayage.

Application autonome 2

Encadrer à $0{,}1$ près une solution de $\ln x + x - 3 = 0$ dans $[1 ; 3]$ par balayage.

Application autonome 3

Encadrer à $0{,}01$ près une solution de $e^{-x} - x = 0$ dans $[0{,}5 ; 0{,}6]$ par balayage.

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