Identifier une asymptote par le calcul de limites

Déterminer les équations des asymptotes horizontales et verticales d'une fonction.

L'objectif

Déterminer les équations des asymptotes horizontales et verticales d'une fonction.

Le principe

La droite $y = L$ est asymptote horizontale si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ ; la droite $x = a$ est asymptote verticale si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ .

La méthode

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Pour chercher une asymptote horizontale : calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Si l'une de ces limites vaut $L$ (réel fini), alors $y = L$ est une asymptote horizontale.
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
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Pour chercher une asymptote verticale : identifier les valeurs $a$ pour lesquelles $f$ n'est pas définie (annulation du dénominateur, argument du logarithme nul, etc.), puis calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
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Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ (en précisant si nécessaire $x \to a^+$ ou $x \to a^-$ ), alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
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Conclure en énonçant l'équation de chaque asymptote trouvée et en précisant sa nature (horizontale ou verticale).

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Exercice d'exemple

Déterminer les asymptotes de $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ .

Étape 1 —

Pour chercher une asymptote horizontale : calculer

\lim_{x \to +\infty} f(x)

\lim_{x \to -\infty} f(x)

. Si l'une de ces limites vaut

L

(réel fini), alors

y = L

est une asymptote horizontale.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(2+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{3}{x})} = \frac{2}{1} = 2$ . De même $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ . Donc $y = 2$ est asymptote horizontale.

Étape 2 —

Pour chercher une asymptote verticale : identifier les valeurs

a

pour lesquelles

f

n'est pas définie (annulation du dénominateur, argument du logarithme nul, etc.), puis calculer

\lim_{x \to a} f(x)

$f$ n'est pas définie en $x = 3$ (annulation du dénominateur). On calcule la limite en $3$ .

Étape 3 —

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty

-\infty

(en précisant si nécessaire

x \to a^+

x \to a^-

), alors la droite

x = a

est une asymptote verticale.

Quand $x \to 3^+$ , $2x+1 \to 7 > 0$ et $x - 3 \to 0^+$ , donc $f(x) \to +\infty$ . Quand $x \to 3^-$ , $x - 3 \to 0^-$ , donc $f(x) \to -\infty$ . La droite $x = 3$ est asymptote verticale.

Étape 4 —

Conclure en énonçant l'équation de chaque asymptote trouvée et en précisant sa nature (horizontale ou verticale).

$f$ admet l'asymptote horizontale $y = 2$ et l'asymptote verticale $x = 3$ .

Asymptote horizontale : $y = 2$ ; asymptote verticale : $x = 3$ .

Application guidée

Déterminer les asymptotes de $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ .

Application autonome 1

Déterminer les asymptotes de $h(x) = \ln(x - 2)$ .

Application autonome 2

Déterminer les asymptotes de $k(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$ .

Application autonome 3

Déterminer les asymptotes de $f(x) = \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4}$ .

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