Comment identifier une asymptote ?

Identifier une asymptote par le calcul de limites

L'objectif

Déterminer les équations des asymptotes horizontales et verticales d'une fonction.

Le principe

La droite $y = L$ est asymptote horizontale si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ ; la droite $x = a$ est asymptote verticale si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ .

La méthode

1
Pour chercher une asymptote horizontale : calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Si l'une de ces limites vaut $L$ (réel fini), alors $y = L$ est une asymptote horizontale.
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
2
Pour chercher une asymptote verticale : identifier les valeurs $a$ pour lesquelles $f$ n'est pas définie (annulation du dénominateur, argument du logarithme nul, etc.), puis calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
3
Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ (en précisant si nécessaire $x \to a^+$ ou $x \to a^-$ ), alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
4
Conclure en énonçant l'équation de chaque asymptote trouvée et en précisant sa nature (horizontale ou verticale).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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