Comment résoudre l'équation différentielle $y'=ay+b$ ? | MetMat

Comment résoudre l'équation différentielle $y'=ay+b$ ?

Résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale

Résoudre complètement l'équation $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$ ) munie d'une condition initiale.

L'objectif

Résoudre complètement l'équation $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$ ) munie d'une condition initiale.

Le principe

On cherche la solution d'équilibre $y_p = -b/a$ , puis le changement de variable $z = y - y_p$ ramène l'équation à $z' = az$ , dont la solution générale est connue.

La méthode

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Chercher la solution constante particulière $y_p$ en résolvant $0 = ay_p + b$ , soit $y_p = -\frac{b}{a}$ (cela suppose $a \neq 0$ ).
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Poser $z = y - y_p$ ; montrer que $z' = y'$ et que $z$ vérifie $z' = az$ , dont la solution générale est $z = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y'=ay$ ?Voir
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En déduire la solution générale de l'équation de départ : $y = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ .
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Appliquer la condition initiale $y(x_0) = y_0$ : substituer $x = x_0$ pour obtenir $C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}$ , puis écrire la solution particulière.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La température $T(t)$ d'un objet (en °C) vérifie $T'(t) = -0{,}1(T - 20)$ , soit $T' = -0{,}1\,T + 2$ , avec $T(0) = 80$ . Trouver $T(t)$ .

Étape 1 —

Chercher la solution constante particulière

y_p

en résolvant

0 = ay_p + b

, soit

y_p = -\frac{b}{a}

(cela suppose

a \neq 0

On identifie $a = -0{,}1$ , $b = 2$ . La solution constante est $y_p = -\frac{2}{-0{,}1} = 20$ .

Étape 2 —

Poser

z = y - y_p

; montrer que

z' = y'

et que

z

vérifie

z' = az

, dont la solution générale est

z = Ce^{ax}

C \in \mathbb{R}

On pose $z = T - 20$ , alors $z' = T'$ et $z' = -0{,}1\,T + 2 = -0{,}1(z + 20) + 2 = -0{,}1z$ . Donc $z = Ce^{-0{,}1t}$ .

Étape 3 —

En déduire la solution générale de l'équation de départ :

y = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \frac{b}{a}

La solution générale est $T = Ce^{-0{,}1t} + 20$ .

Étape 4 —

Appliquer la condition initiale

y(x_0) = y_0

: substituer

x = x_0

pour obtenir

C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}

, puis écrire la solution particulière.

Condition initiale $T(0) = 80$ : $80 = C + 20$ , donc $C = 60$ . La solution est $T(t) = 60\,e^{-0{,}1t} + 20$ .

$T(t) = 60\,e^{-0{,}1t} + 20$

Application guidée

Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 5$ .

Application autonome 1

Un capital $K(t)$ est placé à taux continu $5\,\%$ avec un versement continu de $200$ \text{€}/an : $K' = 0{,}05\,K + 200$ , $K(0) = 10000$ . Trouver $K(t)$ .

Application autonome 2

La concentration $c(t)$ d'un médicament (en mg/L) dans le sang vérifie $c' = -0{,}2c + 1{,}6$ avec $c(0) = 0$ . Trouver $c(t)$ et la concentration limite.

Application autonome 3

Résoudre $y' = -3y + 9$ avec $y(1) = 4$ .

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Résoudre y′=ay+by' = ay + by′=ay+b avec condition initiale

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Résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale