Comment résoudre l'équation différentielle $y'=ay+b$ ?

Résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale

L'objectif

Résoudre complètement l'équation $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$ ) munie d'une condition initiale.

Le principe

On cherche la solution d'équilibre $y_p = -b/a$ , puis le changement de variable $z = y - y_p$ ramène l'équation à $z' = az$ , dont la solution générale est connue.

La méthode

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Chercher la solution constante particulière $y_p$ en résolvant $0 = ay_p + b$ , soit $y_p = -\frac{b}{a}$ (cela suppose $a \neq 0$ ).
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Poser $z = y - y_p$ ; montrer que $z' = y'$ et que $z$ vérifie $z' = az$ , dont la solution générale est $z = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Comment résoudre l'équation différentielle $y'=ay$ ?Voir
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En déduire la solution générale de l'équation de départ : $y = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ .
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Appliquer la condition initiale $y(x_0) = y_0$ : substituer $x = x_0$ pour obtenir $C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}$ , puis écrire la solution particulière.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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Résoudre y′=ay+by' = ay + by′=ay+b avec condition initiale

Exemple corrigé

Résoudre $y' = ay + b$ avec condition initiale