Comment résoudre l'équation différentielle $y'=ay$ ?

Résoudre $y' = ay$ avec condition initiale

L'objectif

Résoudre complètement l'équation différentielle $y' = ay$ avec une condition initiale donnée.

Le principe

Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y = Ce^{ax}$ ( $C \in \mathbb{R}$ ) ; la condition initiale permet de fixer $C$ de manière unique.

La méthode

1
Identifier $a$ dans l'équation $y' = ay$ et écrire la solution générale $y = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
2
Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ : substituer $x = x_0$ dans la solution générale pour obtenir $y_0 = Ce^{ax_0}$ , puis résoudre : $C = y_0 e^{-ax_0}$ .
3
Écrire la solution particulière en remplaçant $C$ par la valeur trouvée, et préciser le domaine de définition (en général $\mathbb{R}$ ).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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Résoudre y′=ayy' = ayy′=ay avec condition initiale

Exemple corrigé

Résoudre $y' = ay$ avec condition initiale