Résoudre $y' = ay$ avec condition initiale

Résoudre complètement l'équation différentielle $y' = ay$ avec une condition initiale donnée.

L'objectif

Résoudre complètement l'équation différentielle $y' = ay$ avec une condition initiale donnée.

Le principe

Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions $y = Ce^{ax}$ ( $C \in \mathbb{R}$ ) ; la condition initiale permet de fixer $C$ de manière unique.

La méthode

1
Identifier $a$ dans l'équation $y' = ay$ et écrire la solution générale $y = Ce^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .
2
Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ : substituer $x = x_0$ dans la solution générale pour obtenir $y_0 = Ce^{ax_0}$ , puis résoudre : $C = y_0 e^{-ax_0}$ .
3
Écrire la solution particulière en remplaçant $C$ par la valeur trouvée, et préciser le domaine de définition (en général $\mathbb{R}$ ).

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Exercice d'exemple

Un capital $K(t)$ (en euros) croît à taux continu de $3\,\%$ par an. On a $K'(t) = 0{,}03\,K(t)$ avec $K(0) = 1000$ . Trouver $K(t)$ .

Étape 1 —

Identifier

a

dans l'équation

y' = ay

et écrire la solution générale

y = Ce^{ax}

C \in \mathbb{R}

On identifie $a = 0{,}03$ . La solution générale est $K(t) = Ce^{0{,}03t}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Utiliser la condition initiale

y(x_0) = y_0

: substituer

x = x_0

dans la solution générale pour obtenir

y_0 = Ce^{ax_0}

, puis résoudre :

C = y_0 e^{-ax_0}

On applique $K(0) = 1000$ : $1000 = Ce^{0} = C$ , donc $C = 1000$ .

Étape 3 —

Écrire la solution particulière en remplaçant

C

par la valeur trouvée, et préciser le domaine de définition (en général

\mathbb{R}

La solution est $K(t) = 1000\,e^{0{,}03t}$ , définie sur $\mathbb{R}$ (ou $[0, +\infty[$ dans le contexte).

$K(t) = 1000\,e^{0{,}03t}$

Application guidée

Une substance radioactive se désintègre selon $N'(t) = -0{,}5\,N(t)$ avec $N(0) = 80$ (en grammes). Trouver $N(t)$ .

Application autonome 1

Résoudre $y' = -2y$ avec $y(1) = 3e^2$ .

Application autonome 2

Une population bactérienne évolue selon $P'(t) = 0{,}2\,P(t)$ avec $P(0) = 500$ (en milliers). Trouver $P(t)$ et la population à $t = 10$ .

Application autonome 3

La charge $q(t)$ d'un condensateur vérifie $q'(t) = -\frac{1}{RC}q(t)$ avec $R = 2$ , $C = 1$ et $q(0) = 4$ (en coulombs). Trouver $q(t)$ .

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Résoudre y′=ayy' = ayy′=ay avec condition initiale

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Résoudre $y' = ay$ avec condition initiale