Appliquer la propriété d'absence de mémoire

Calculer une probabilité conditionnelle de la forme $P(X > m+n \mid X > m)$ en utilisant la propriété d'absence de mémoire.

L'objectif

Calculer une probabilité conditionnelle de la forme $P(X > m+n \mid X > m)$ en utilisant la propriété d'absence de mémoire.

Le principe

La loi géométrique est sans mémoire : $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n) = (1-p)^n$ , ce qui signifie que les échecs passés n'influencent pas la suite.

La méthode

1
Identifier la variable $X \sim \mathcal{G}(p)$ , repérer que la probabilité demandée est de la forme $P(X > m+n \mid X > m)$ ou une formulation équivalente.
2
Reconnaître la structure de la propriété d'absence de mémoire : sachant qu'il n'y a pas eu de succès lors des $m$ premières épreuves, la probabilité de ne pas avoir de succès lors des $n$ épreuves suivantes est identique à $P(X > n)$ .
3
Appliquer directement : $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n) = (1-p)^n$ , sans recourir au calcul de probabilités conditionnelles par la formule de Bayes.
4
Conclure en calculant $(1-p)^n$ numériquement et en interprétant le résultat dans le contexte.

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Exercice d'exemple

Un joueur de fléchettes touche la cible avec probabilité $p = 0{,}4$ à chaque lancer. $X$ est le numéro du premier lancer réussi. Sachant qu'il a raté les $3$ premiers lancers, calculer la probabilité qu'il rate aussi les $2$ suivants.

Étape 1 —

Identifier la variable

X \sim \mathcal{G}(p)

, repérer que la probabilité demandée est de la forme

P(X > m+n \mid X > m)

ou une formulation équivalente.

$X \sim \mathcal{G}(0{,}4)$ . L'événement demandé est $P(X > 3 + 2 \mid X > 3) = P(X > 5 \mid X > 3)$ avec $m = 3$ , $n = 2$ .

Étape 2 —

Reconnaître la structure de la propriété d'absence de mémoire : sachant qu'il n'y a pas eu de succès lors des

m

premières épreuves, la probabilité de ne pas avoir de succès lors des

n

épreuves suivantes est identique à

P(X > n)

La propriété d'absence de mémoire s'applique : les $3$ premiers ratés ne modifient pas la probabilité des lancers suivants.

Étape 3 —

Appliquer directement :

P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n) = (1-p)^n

, sans recourir au calcul de probabilités conditionnelles par la formule de Bayes.

$P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2) = (1 - 0{,}4)^2 = (0{,}6)^2$ .

Étape 4 —

Conclure en calculant

(1-p)^n

numériquement et en interprétant le résultat dans le contexte.

$P(X > 5 \mid X > 3) = 0{,}36$ . Le joueur rate encore $2$ fois avec probabilité $36\,\%$ , indépendamment de ses $3$ ratés précédents.

$P(X > 5 \mid X > 3) = (0{,}6)^2 = 0{,}36$

Application guidée

Un chercheur teste des molécules une à une pour trouver un médicament efficace. La probabilité de succès est $p = \frac{1}{10}$ . Sachant que les $5$ premières molécules ont échoué, calculer la probabilité que les $4$ suivantes échouent aussi.

Application autonome 1

On interroge des personnes jusqu'à trouver quelqu'un favorable à un projet. La probabilité d'être favorable est $p = 0{,}25$ . Sachant que les $6$ premières personnes sont défavorables, calculer la probabilité que les $3$ suivantes soient aussi défavorables.

Application autonome 2

Un garde-forestier observe les arbres d'une forêt. La probabilité qu'un arbre soit contaminé est $p = 0{,}2$ . $X$ est le numéro du premier arbre contaminé. Sachant que les $4$ premiers arbres sont sains, calculer $P(X > 7 \mid X > 4)$ .

Application autonome 3

Un basketteur rate chaque lancer franc avec probabilité $p = 0{,}35$ . $X$ est le numéro du premier lancer raté. Sachant qu'il a réussi ses $2$ premiers lancers, calculer $P(X > 5 \mid X > 2)$ .

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