Utiliser l'absence de mémoire d'une loi géométrique

Appliquer la propriété d'absence de mémoire

L'objectif

Calculer une probabilité conditionnelle de la forme $P(X > m+n \mid X > m)$ en utilisant la propriété d'absence de mémoire.

Le principe

La loi géométrique est sans mémoire : $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n) = (1-p)^n$ , ce qui signifie que les échecs passés n'influencent pas la suite.

La méthode

1
Identifier la variable $X \sim \mathcal{G}(p)$ , repérer que la probabilité demandée est de la forme $P(X > m+n \mid X > m)$ ou une formulation équivalente.
2
Reconnaître la structure de la propriété d'absence de mémoire : sachant qu'il n'y a pas eu de succès lors des $m$ premières épreuves, la probabilité de ne pas avoir de succès lors des $n$ épreuves suivantes est identique à $P(X > n)$ .
3
Appliquer directement : $P(X > m+n \mid X > m) = P(X > n) = (1-p)^n$ , sans recourir au calcul de probabilités conditionnelles par la formule de Bayes.
4
Conclure en calculant $(1-p)^n$ numériquement et en interprétant le résultat dans le contexte.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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