Calculer une probabilité avec la loi géométrique

Calculer $P(X = k)$ ou $P(X \leq k)$ pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ .

L'objectif

Calculer $P(X = k)$ ou $P(X \leq k)$ pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ .

Le principe

Pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ , on a $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ pour $k \geq 1$ , et $P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$ .

La méthode

1
Identifier $p$ (probabilité de succès à chaque épreuve) et la valeur $k \geq 1$ ou l'inégalité demandée.
2
Pour une probabilité exacte $P(X = k)$ , appliquer $P(X = k) = (1-p)^{k-1} \times p$ en calculant la puissance $(1-p)^{k-1}$ .
3
Pour $P(X \leq k)$ , appliquer la formule $P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$ . Pour $P(X > k)$ , utiliser $P(X > k) = (1-p)^k$ .
4
Conclure en donnant le résultat exact (fraction ou expression avec puissance) ou décimal arrondi.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On joue à un jeu où la probabilité de gagner à chaque partie est $p = 0{,}3$ . Les parties sont indépendantes. $X$ est le numéro de la première partie gagnée. Calculer $P(X = 4)$ .

Étape 1 —

Identifier

p

(probabilité de succès à chaque épreuve) et la valeur

k \geq 1

ou l'inégalité demandée.

$X \sim \mathcal{G}(0{,}3)$ , on cherche $P(X = 4)$ donc $p = 0{,}3$ et $k = 4$ .

Étape 2 —

Pour une probabilité exacte

P(X = k)

, appliquer

P(X = k) = (1-p)^{k-1} \times p

en calculant la puissance

(1-p)^{k-1}

$P(X = 4) = (1 - 0{,}3)^{4-1} \times 0{,}3 = (0{,}7)^3 \times 0{,}3$ .

Étape 3 —

Pour

P(X \leq k)

, appliquer la formule

P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k

. Pour

P(X > k)

, utiliser

P(X > k) = (1-p)^k

Il s'agit d'une probabilité exacte, la formule cumulée n'est pas nécessaire.

Étape 4 —

Conclure en donnant le résultat exact (fraction ou expression avec puissance) ou décimal arrondi.

$P(X = 4) = 0{,}343 \times 0{,}3 = 0{,}1029$ .

$P(X = 4) = (0{,}7)^3 \times 0{,}3 = 0{,}1029$

Application guidée

Un virologue teste des échantillons jusqu'à trouver un virus. La probabilité de succès est $p = \frac{1}{5}$ . $X$ est le numéro du premier succès. Calculer $P(X \leq 3)$ .

Application autonome 1

Un athlète réussit un saut avec probabilité $0{,}6$ . Les essais sont indépendants. $X$ est le numéro du premier succès. Calculer $P(X > 3)$ .

Application autonome 2

Une machine produit une pièce conforme avec probabilité $p = 0{,}9$ . On teste les pièces jusqu'à obtenir la première non conforme. $X$ est le numéro de cette pièce. Calculer $P(X = 1)$ et $P(X = 2)$ .

Application autonome 3

Une enquête montre que $\frac{1}{4}$ des personnes interrogées connaissent un fait historique précis. On interroge les personnes une par une. $X$ est le numéro de la première personne qui connaît ce fait. Calculer $P(X \leq 5)$ .

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