Déterminer un intervalle de concentration pour une loi binomiale | MetMat

Déterminer un intervalle de concentration pour une loi binomiale

Déterminer un intervalle de concentration par calcul de probabilités cumulées

Trouver un intervalle centré en $np$ tel que la variable $X$ s'y trouve avec probabilité au moins $1 - \alpha$ .

L'objectif

Trouver un intervalle centré en $np$ tel que la variable $X$ s'y trouve avec probabilité au moins $1 - \alpha$ .

Le principe

Un intervalle de concentration $[np - r\,;\, np + r]$ regroupe les valeurs les plus probables de $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec une probabilité au moins égale au seuil fixé.

La méthode

1
Identifier $n$ , $p$ , et le seuil $1 - \alpha$ (souvent $95\,\%$ ), puis calculer l'espérance $np$ (centre de l'intervalle).
2
Partir de l'intervalle réduit à $\{np\}$ si $np$ est entier, ou de $\{\lfloor np \rfloor, \lceil np \rceil\}$ sinon, et calculer $P(X \in I)$ à la calculatrice.
3
Si $P(X \in I) < 1 - \alpha$ , élargir symétriquement l'intervalle en ajoutant $1$ de chaque côté : remplacer $[a\,;\,b]$ par $[a-1\,;\,b+1]$ , jusqu'à $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ .
4
Conclure en donnant l'intervalle $I = [a\,;\,b]$ et la probabilité correspondante, en vérifiant que l'intervalle est bien centré autour de $np$ .

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Exercice d'exemple

On lance $100$ fois une pièce équilibrée. $X$ est le nombre de faces. Déterminer un intervalle de concentration de $X$ au seuil $95\,\%$ .

Étape 1 —

Identifier

n

p

, et le seuil

1 - \alpha

(souvent

95\,\%

), puis calculer l'espérance

np

(centre de l'intervalle).

$X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$ , seuil $95\,\%$ , espérance $np = 50$ .

Étape 2 —

Partir de l'intervalle réduit à

\{np\}

np

est entier, ou de

\{\lfloor np \rfloor, \lceil np \rceil\}

sinon, et calculer

P(X \in I)

à la calculatrice.

On part de $I = [50\,;\,50]$ : $P(X = 50) \approx 0{,}0796 < 0{,}95$ , donc on élargit.

Étape 3 —

P(X \in I) < 1 - \alpha

, élargir symétriquement l'intervalle en ajoutant

1

de chaque côté : remplacer

[a\,;\,b]

par

[a-1\,;\,b+1]

, jusqu'à

P(X \in I) \geq 1 - \alpha

On élargit progressivement : à la calculatrice, $P(40 \leq X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X \leq 39) \approx 0{,}9648 \geq 0{,}95$ .

Étape 4 —

Conclure en donnant l'intervalle

I = [a\,;\,b]

et la probabilité correspondante, en vérifiant que l'intervalle est bien centré autour de

np

L'intervalle $[40\,;\,60]$ est centré en $50$ et vérifie $P(X \in [40\,;\,60]) \approx 96{,}5\,\% \geq 95\,\%$ .

$I = [40\,;\,60]$ avec $P(X \in I) \approx 96{,}5\,\% \geq 95\,\%$

Application guidée

Un médicament est efficace avec probabilité $0{,}8$ . On traite $50$ patients. $X$ est le nombre de guérisons. Déterminer un intervalle de concentration au seuil $95\,\%$ .

Application autonome 1

Dans une forêt, $30\,\%$ des arbres sont malades. On observe $80$ arbres. $X$ est le nombre d'arbres malades. Déterminer un intervalle de concentration au seuil $90\,\%$ .

Application autonome 2

Un jeu de fléchettes donne une probabilité de toucher la cible de $0{,}45$ . On lance $60$ fléchettes. $X$ est le nombre de touches. Déterminer un intervalle de concentration au seuil $95\,\%$ .

Application autonome 3

Dans un QCM comptant $40$ questions à choix multiples, un candidat répond au hasard avec probabilité $p = 0{,}25$ de trouver la bonne réponse à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses. Déterminer un intervalle de concentration de $X$ au seuil $95\,\%$ .

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