Calculer une probabilité binomiale exacte ou cumulée

Calculer $P(X = k)$ ou $P(X \leq k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

L'objectif

Calculer $P(X = k)$ ou $P(X \leq k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

Le principe

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , on a $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour tout $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ .

La méthode

1
Identifier $n$ et $p$ de la loi $\mathcal{B}(n, p)$ , et repérer la valeur $k$ ou l'inégalité demandée.
2
Pour une probabilité exacte $P(X = k)$ , appliquer $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ en calculant d'abord le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ .
Calculer des coefficients binomiauxVoir
3
Pour une probabilité cumulée ( $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ ou $P(a \leq X \leq b)$ ), utiliser la calculatrice (loi binomiale cumulative) ou appliquer la relation $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ .
4
Conclure en exprimant le résultat sous forme décimale arrondie ou exacte selon le contexte.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On teste un médicament sur $10$ patients. Chaque patient guérit avec probabilité $0{,}6$ indépendamment. $X$ est le nombre de guérisons. Calculer $P(X = 7)$ .

Étape 1 —

Identifier

n

p

de la loi

\mathcal{B}(n, p)

, et repérer la valeur

k

ou l'inégalité demandée.

$X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}6)$ , on cherche $P(X = 7)$ donc $n = 10$ , $p = 0{,}6$ , $k = 7$ .

Étape 2 —

Pour une probabilité exacte

P(X = k)

, appliquer

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

en calculant d'abord le coefficient binomial

\binom{n}{k}

$P(X = 7) = \binom{10}{7}(0{,}6)^7(0{,}4)^3$ ; on calcule $\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = 120$ .

Étape 3 —

Pour une probabilité cumulée (

P(X \leq k)

P(X \geq k)

P(a \leq X \leq b)

), utiliser la calculatrice (loi binomiale cumulative) ou appliquer la relation

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Il s'agit d'une probabilité exacte, on applique la formule directement sans calculatrice de cumul.

Étape 4 —

Conclure en exprimant le résultat sous forme décimale arrondie ou exacte selon le contexte.

$P(X = 7) = 120 \times (0{,}6)^7 \times (0{,}4)^3 = 120 \times 0{,}0279936 \times 0{,}064 \approx 0{,}2150$ .

$P(X = 7) \approx 0{,}2150$

Application guidée

Lors d'un contrôle qualité, $15\,\%$ des pièces sont défectueuses. On prélève $20$ pièces. $X$ est le nombre de pièces défectueuses. Calculer $P(X \leq 3)$ .

Application autonome 1

Un sportif marque un penalty avec probabilité $0{,}75$ . Il tire $8$ penalties. $X$ est le nombre de penalties marqués. Calculer $P(X \geq 6)$ .

Application autonome 2

Une pièce de monnaie équilibrée est lancée $5$ fois. $X$ est le nombre de fois où on obtient pile. Calculer $P(X = 2)$ exactement.

Application autonome 3

Un quiz comporte $12$ questions à choix multiples avec $4$ options chacune. Un élève répond au hasard. $X$ est le nombre de bonnes réponses. Calculer $P(3 \leq X \leq 5)$ .

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