Identifier la loi par ses critères caractéristiques

L'objectif

Déterminer la loi suivie par une variable aléatoire discrète à partir de la description de l'expérience.

Le principe

On identifie la loi en vérifiant les critères : Bernoulli pour une seule épreuve, binomiale pour le nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes, géométrique pour le rang du premier succès.

La méthode

1
Repérer la variable aléatoire $X$ décrite dans l'énoncé et ce qu'elle mesure (résultat d'une épreuve, nombre de succès, rang d'apparition…).
2
Vérifier s'il s'agit d'une seule épreuve à deux issues (succès/échec) de probabilité $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{B}(p)$ (loi de Bernoulli).
3
Vérifier si $X$ compte le nombre de succès lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (loi binomiale).
4
Vérifier si $X$ est le rang (numéro) de la première occurrence d'un succès dans une suite d'épreuves indépendantes de même paramètre $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{G}(p)$ (loi géométrique).
5
Conclure en précisant la loi et ses paramètres, en justifiant brièvement chaque critère vérifié.

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Application guidée 1

On lance un dé équilibré une seule fois. $X$ vaut $1$ si on obtient un six, $0$ sinon. Quelle est la loi de $X$ ?

Application guidée 2

Un médicament guérit un patient avec probabilité $0{,}7$ . On traite $20$ patients indépendamment. $X$ est le nombre de patients guéris. Quelle est la loi de $X$ ?

Application autonome 1

Une chaîne de production génère des pièces défectueuses avec probabilité $0{,}05$ . On contrôle les pièces une à une jusqu'à trouver la première pièce défectueuse. $X$ est le numéro de cette pièce. Quelle est la loi de $X$ ?

Application autonome 2

Un archer touche la cible avec probabilité $0{,}8$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. Il tire jusqu'à rater pour la première fois. $Y$ est le numéro du premier raté. Quelle est la loi de $Y$ ?

Application autonome 3

Dans un jeu, on tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. $X$ vaut $1$ si la carte est un as, $0$ sinon. Quelle est la loi de $X$ ?

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