Identifier la loi suivie par une variable aléatoire discrète | MetMat

Identifier la loi suivie par une variable aléatoire discrète

Identifier la loi par ses critères caractéristiques

Déterminer la loi suivie par une variable aléatoire discrète à partir de la description de l'expérience.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré une seule fois. $X$ vaut $1$ si on obtient un six, $0$ sinon. Quelle est la loi de $X$ ?

L'objectif

Déterminer la loi suivie par une variable aléatoire discrète à partir de la description de l'expérience.

Le principe

On identifie la loi en vérifiant les critères : Bernoulli pour une seule épreuve, binomiale pour le nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes, géométrique pour le rang du premier succès.

La méthode

1
Repérer la variable aléatoire $X$ décrite dans l'énoncé et ce qu'elle mesure (résultat d'une épreuve, nombre de succès, rang d'apparition…).
2
Vérifier s'il s'agit d'une seule épreuve à deux issues (succès/échec) de probabilité $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{B}(p)$ (loi de Bernoulli).
3
Vérifier si $X$ compte le nombre de succès lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (loi binomiale).
4
Vérifier si $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes de même paramètre $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{G}(p)$ (loi géométrique).
5
Conclure en précisant la loi et ses paramètres, en justifiant brièvement chaque critère vérifié.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré une seule fois. $X$ vaut $1$ si on obtient un six, $0$ sinon. Quelle est la loi de $X$ ?

Étape 1 —

Repérer la variable aléatoire

X

décrite dans l'énoncé et ce qu'elle mesure (résultat d'une épreuve, nombre de succès, rang d'apparition…).

$X$ vaut $1$ (succès : obtenir un six) ou $0$ (échec), il mesure le résultat d'une seule épreuve.

Étape 2 —

Vérifier s'il s'agit d'une seule épreuve à deux issues (succès/échec) de probabilité

p

: si oui,

X \sim \mathcal{B}(p)

(loi de Bernoulli).

Il s'agit d'une seule épreuve à deux issues, avec probabilité de succès $p = \frac{1}{6}$ : on est dans le cas de Bernoulli.

Étape 3 —

Vérifier si

X

compte le nombre de succès lors de

n

épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

p

: si oui,

X \sim \mathcal{B}(n, p)

(loi binomiale).

Il n'y a pas $n$ répétitions comptant des succès : ce critère ne s'applique pas.

Étape 4 —

Vérifier si

X

est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes de même paramètre

p

: si oui,

X \sim \mathcal{G}(p)

(loi géométrique).

Il n'y a pas de notion de rang du premier succès : ce critère ne s'applique pas non plus.

Étape 5 —

Conclure en précisant la loi et ses paramètres, en justifiant brièvement chaque critère vérifié.

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{6}$ , notée $X \sim \mathcal{B}\!\left(\frac{1}{6}\right)$ .

$X \sim \mathcal{B}\!\left(\dfrac{1}{6}\right)$

Application guidée

Un médicament guérit un patient avec probabilité $0{,}7$ . On traite $20$ patients indépendamment. $X$ est le nombre de patients guéris. Quelle est la loi de $X$ ?

Application autonome 1

Une chaîne de production génère des pièces défectueuses avec probabilité $0{,}05$ . On contrôle les pièces une à une jusqu'à trouver la première pièce défectueuse. $X$ est le numéro de cette pièce. Quelle est la loi de $X$ ?

Application autonome 2

Un archer touche la cible avec probabilité $0{,}8$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. Il tire jusqu'à rater pour la première fois. $Y$ est le numéro du premier raté. Quelle est la loi de $Y$ ?

Application autonome 3

On tire successivement $6$ cartes avec remise dans un jeu de $32$ cartes. $X$ est le nombre d'as obtenus. Quelle est la loi de $X$ ?

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