Calcul de l'espérance par intégration

Calculer la valeur moyenne d'une variable aléatoire à densité en appliquant la formule intégrale.

L'objectif

Calculer la valeur moyenne d'une variable aléatoire à densité en appliquant la formule intégrale.

Le principe

L'espérance d'une variable aléatoire à densité $f$ est $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x$ calculée sur le support de $f$ .

La méthode

1
Identifier la densité $f$ et son support, puis écrire l'intégrale $E(X) = \displaystyle\int_{\text{support}} x\,f(x)\,\mathrm{d}x$ .
2
Calculer le produit $x \cdot f(x)$ , trouver une primitive, et évaluer l'intégrale (en utilisant une intégration par parties si nécessaire pour la loi exponentielle).
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
3
Vérifier la cohérence du résultat avec les formules connues : $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ pour $\mathcal{U}([a,b])$ et $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ pour $\mathcal{E}(\lambda)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{U}([2, 8])$ . Calculer $E(X)$ .

Étape 1 —

Identifier la densité

f

et son support, puis écrire l'intégrale

E(X) = \displaystyle\int_{\text{support}} x\,f(x)\,\mathrm{d}x

La densité est $f(x) = \dfrac{1}{6}$ sur $[2,8]$ . On écrit $E(X) = \displaystyle\int_2^8 x \cdot \dfrac{1}{6}\,\mathrm{d}x$ .

Étape 2 —

Calculer le produit

x \cdot f(x)

, trouver une primitive, et évaluer l'intégrale (en utilisant une intégration par parties si nécessaire pour la loi exponentielle).

$E(X) = \dfrac{1}{6}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_2^8 = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{64}{2} - \dfrac{4}{2}\right) = \dfrac{1}{6} \times 30 = 5$ .

Étape 3 —

Vérifier la cohérence du résultat avec les formules connues :

E(X) = \dfrac{a+b}{2}

pour

\mathcal{U}([a,b])

E(X) = \dfrac{1}{\lambda}

pour

\mathcal{E}(\lambda)

Vérification : $\dfrac{a+b}{2} = \dfrac{2+8}{2} = 5$ . Résultat cohérent.

$E(X) = 5$ .

Application guidée

La durée de vie $X$ (en heures) d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{100}$ . Calculer $E(X)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f(x) = 3x^2$ sur $[0,1]$ , modélisant la fiabilité d'un système. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 2

Le temps de traitement $X$ (en minutes) d'un appel téléphonique suit $X \sim \mathcal{U}([1, 7])$ . Calculer $E(X)$ .

Application autonome 3

Le délai de réponse $X$ (en jours) d'un laboratoire d'analyses médicales suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2$ . Calculer $E(X)$ .

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