Reconnaître convexité et concavité par lecture graphique

Déterminer visuellement si une courbe est convexe ou concave sur un intervalle.

L'objectif

Déterminer visuellement si une courbe est convexe ou concave sur un intervalle.

Le principe

Une courbe est convexe si elle se situe en dessous de toute corde (ou au-dessus de toute tangente), et concave dans le cas contraire ; cela correspond respectivement à $f'$ croissante ou décroissante.

La méthode

1
Tracer ou observer la courbe sur l'intervalle d'étude et repérer sa forme générale (« souriante » ou « triste »).
2
Vérifier la position par rapport aux cordes : si la courbe est en dessous du segment reliant deux points quelconques, la fonction est convexe ; si elle est au-dessus, elle est concave.
3
Vérifier la position par rapport aux tangentes : si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, elle est convexe ; en dessous, elle est concave.
4
Observer le sens de variation de la pente : si les tangentes s'inclinent de plus en plus vers le haut (pente croissante), $f$ est convexe ; si elles s'inclinent de plus en plus vers le bas, $f$ est concave.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La courbe de $f(x) = x^2$ est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ?

Étape 1 —

Tracer ou observer la courbe sur l'intervalle d'étude et repérer sa forme générale (« souriante » ou « triste »).

La courbe a une forme de parabole ouverte vers le haut (« souriante »).

Étape 2 —

Vérifier la position par rapport aux cordes : si la courbe est en dessous du segment reliant deux points quelconques, la fonction est convexe ; si elle est au-dessus, elle est concave.

Pour deux points quelconques $A$ et $B$ sur la parabole, le segment $[AB]$ est au-dessus de la courbe : la courbe est en dessous des cordes.

Étape 3 —

Vérifier la position par rapport aux tangentes : si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, elle est convexe ; en dessous, elle est concave.

Les tangentes à la parabole sont toutes en dessous de la courbe (sauf au point de tangence).

Étape 4 —

Observer le sens de variation de la pente : si les tangentes s'inclinent de plus en plus vers le haut (pente croissante),

f

est convexe ; si elles s'inclinent de plus en plus vers le bas,

f

est concave.

$f'(x) = 2x$ est une fonction croissante sur $\mathbb{R}$ : la pente augmente, confirmant la convexité.

$f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$

Application guidée

La courbe de $f(x) = -x^2 + 4x$ est-elle convexe ou concave sur $[0;4]$ ?

Application autonome 1

Sur le graphe de $f(x) = x^3$ , identifier les zones de convexité et de concavité.

Application autonome 2

La courbe de Lorenz est convexe sur $[0;1]$ . Que peut-on en déduire sur les inégalités de revenus ?

Application autonome 3

La courbe représentative de $f(x) = \sqrt{x}$ est tracée sur $[0 ; +\infty[$ . Est-elle convexe ou concave ? Justifier par lecture graphique.

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