Trouver un point d'inflexion par annulation avec changement de signe de $f''$

Trouver les coordonnées des points d'inflexion et l'équation de la tangente en ces points.

L'objectif

Trouver les coordonnées des points d'inflexion et l'équation de la tangente en ces points.

Le principe

Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe, ce qui indique un changement de convexité.

La méthode

1
Calculer $f''(x)$ et résoudre $f''(x) = 0$ pour trouver les candidats $x_0$ .
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Vérifier que $f''$ change de signe en $x_0$ (dresser un tableau de signe autour de $x_0$ ).
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
3
Calculer les coordonnées du point d'inflexion : $I = (x_0,\, f(x_0))$ .
4
Écrire l'équation de la tangente en $I$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

Étape 1 —

Calculer

f''(x)

et résoudre

f''(x) = 0

pour trouver les candidats

x_0

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ , $f''(x) = 6x - 12$ . $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ .

Étape 2 —

Vérifier que

f''

change de signe en

x_0

(dresser un tableau de signe autour de

x_0

$f''(x) < 0$ pour $x < 2$ et $f''(x) > 0$ pour $x > 2$ : changement de signe confirmé.

Étape 3 —

Calculer les coordonnées du point d'inflexion :

I = (x_0,\, f(x_0))

$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ , donc $I = (2,\, 3)$ .

Étape 4 —

Écrire l'équation de la tangente en

I

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

$f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ , tangente en $I$ : $y = -3(x-2) + 3 = -3x + 9$ .

Point d'inflexion $I = (2,\, 3)$ , tangente $y = -3x + 9$

Application guidée

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x^4 - 6x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x + e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x^2 \ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

Application autonome 3

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

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