Étudier la convexité par le signe de la dérivée seconde

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction.

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction.

Le principe

Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est convexe (courbe au-dessus des tangentes) ; si $f''(x) < 0$ , $f$ est concave.

La méthode

1
Calculer $f''(x)$ .
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Résoudre $f''(x) = 0$ pour trouver les éventuels changements de signe.
3
Dresser le tableau de signe de $f''$ sur l'intervalle d'étude.
4
Conclure : sur les sous-intervalles où $f'' > 0$ , $f$ est convexe ; où $f'' < 0$ , $f$ est concave.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Calculer

f''(x)

$f'(x) = 3x^2 - 3$ , donc $f''(x) = 6x$ .

Étape 2 —

Résoudre

f''(x) = 0

pour trouver les éventuels changements de signe.

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Étape 3 —

Dresser le tableau de signe de

f''

sur l'intervalle d'étude.

$f''(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f''(x) > 0$ pour $x > 0$ .

Étape 4 —

Conclure : sur les sous-intervalles où

f'' > 0

f

est convexe ; où

f'' < 0

f

est concave.

$f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$ .

$f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$

Application guidée

Étudier la convexité de $f(x) = e^x - x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Étudier la convexité de $f(x) = \ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Application autonome 2

Étudier la convexité de $f(x) = x^4 - 6x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier la convexité de $f(x) = xe^{x}$ sur $\mathbb{R}$ .

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