Calculer la dérivée seconde par double dérivation

Obtenir l'expression de $f''(x)$ à partir de $f(x)$ .

L'objectif

Obtenir l'expression de $f''(x)$ à partir de $f(x)$ .

Le principe

On dérive deux fois de suite : d'abord $f$ pour obtenir $f'$ , puis $f'$ pour obtenir $f''$ .

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ en dérivant $f(x)$ avec les règles usuelles (somme, produit, quotient, chaîne).
Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ?Voir
2
Calculer $f''(x)$ en dérivant $f'(x)$ avec les mêmes règles.
3
Simplifier l'expression obtenue pour $f''(x)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$ .

Étape 1 —

Calculer

f'(x)

en dérivant

f(x)

avec les règles usuelles (somme, produit, quotient, chaîne).

$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$ .

Étape 2 —

Calculer

f''(x)

en dérivant

f'(x)

avec les mêmes règles.

$f''(x) = 12x^2 - 6$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression obtenue pour

f''(x)

$f''(x) = 12x^2 - 6$ .

$f''(x) = 12x^2 - 6$

Application guidée

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = e^{2x} - 3x$ .

Application autonome 1

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = x^2 \ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

Application autonome 2

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ .

Application autonome 3

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = \ln(1 + x^2)$ sur $\mathbb{R}$ .

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