Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En identifiant un système complet d'événements $(B_i)$ partitionnant l'univers, puis en calculant $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $A$ en décomposant selon deux causes $B$ et $\bar{B}$ .

Le principe

En notant les deux branches d'un arbre pondéré, on additionne les probabilités des chemins menant à $A$ : $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$ .

La méthode

1
Identifier la partition $\{B, \bar{B}\}$ de l'univers (ou plus généralement $\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ ) et vérifier que ces événements sont exhaustifs et incompatibles.
2
Construire l'arbre pondéré : inscrire $P(B)$ et $P(\bar{B})$ sur les premières branches, puis $P_B(A)$ , $P_B(\bar{A})$ , $P_{\bar{B}}(A)$ , $P_{\bar{B}}(\bar{A})$ sur les secondes branches.
3
Calculer $P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)$ en multipliant les probabilités le long de chaque chemin menant à $A$ , puis en additionnant.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En identifiant un système complet d'événements (Bi)(B_i)(Bi​) partitionnant l'univers, puis en calculant P(A)=P(B) PB(A)+P(Bˉ) PBˉ(A)P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)P(A)=P(B)PB​(A)+P(Bˉ)PBˉ​(A)

Exemple corrigé

En identifiant un système complet d'événements $(B_i)$ partitionnant l'univers, puis en calculant $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$