En imposant $\int|\psi(x)|^2\,dx = 1$ , en calculant l'intégrale avec une constante inconnue $A$ et en résolvant pour $|A|$

Déterminer la constante de normalisation d'une fonction d'onde.

L'objectif

Déterminer la constante de normalisation d'une fonction d'onde.

Le principe

La condition de normalisation $\langle\psi|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2\,dx = 1$ garantit que les probabilités de présence sont bien définies.

La méthode

1
Écrire $\psi(x) = A\cdot f(x)$ où $f(x)$ est la forme non normée et $A$ la constante cherchée.
2
Imposer la condition de normalisation : $\int_{-\infty}^{+\infty}|A|^2|f(x)|^2\,dx = 1$ et calculer l'intégrale $I = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,dx$ .
3
Déduire $|A| = \dfrac{1}{\sqrt{I}} = \dfrac{1}{\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,dx}}$ , puis choisir $A$ réel positif par convention : $A = \dfrac{1}{\sqrt{I}}$ .

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Exercice d'exemple

Normaliser la fonction d'onde gaussienne $f(x) = e^{-x^2/2}$ (avec $\sigma = 1$ pour simplifier).

Étape 1 —

Écrire

\psi(x) = A\cdot f(x)

où

f(x)

est la forme non normée et

A

la constante cherchée.

On pose $\psi(x) = A\,e^{-x^2/2}$ où $f(x) = e^{-x^2/2}$ .

Étape 2 —

Imposer la condition de normalisation :

\int_{-\infty}^{+\infty}|A|^2|f(x)|^2\,dx = 1

et calculer l'intégrale

I = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,dx

On calcule $I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ (intégrale gaussienne classique). Donc la condition donne $|A|^2\sqrt{\pi} = 1$ .

Étape 3 —

Déduire

|A| = \dfrac{1}{\sqrt{I}} = \dfrac{1}{\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,dx}}

, puis choisir

A

réel positif par convention :

A = \dfrac{1}{\sqrt{I}}

On déduit $|A| = \pi^{-1/4}$ , d'où $A = \pi^{-1/4}$ réel positif. La fonction normée est $\psi(x) = \pi^{-1/4}e^{-x^2/2}$ .

$A = \pi^{-1/4}$ , donc $\psi(x) = \pi^{-1/4}e^{-x^2/2}$ .

Application guidée

Normaliser la fonction $f(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ sur $[0, L]$ (puits infini).

Application autonome 1

Normaliser l'onde plane tronquée $f(x) = e^{ikx}$ pour $x \in [-L/2, L/2]$ et $f(x) = 0$ ailleurs.

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En imposant ∫∣ψ(x)∣2 dx=1\int|\psi(x)|^2\,dx = 1∫∣ψ(x)∣2dx=1, en calculant l'intégrale avec une constante inconnue AAA et en résolvant pour ∣A∣|A|∣A∣

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En imposant $\int|\psi(x)|^2\,dx = 1$ , en calculant l'intégrale avec une constante inconnue $A$ et en résolvant pour $|A|$