Comment appliquer les conditions aux limites sur la fonction d'onde en présence d'un potentiel discontinu ? | MetMat

Comment appliquer les conditions aux limites sur la fonction d'onde en présence d'un potentiel discontinu ?

En imposant la continuité de ψ(x) partout et la continuité de dψ/dx aux seuls points où V(x) est fini (discontinuité autorisée si V → ∞)

Raccorder correctement la fonction d'onde aux interfaces entre régions de potentiel différent.

L'objectif

Raccorder correctement la fonction d'onde aux interfaces entre régions de potentiel différent.

Le principe

L'intégration de $\psi'' = \frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E)\psi$ sur un intervalle $[-\epsilon,+\epsilon]$ montre que $\psi'$ est continue si $V$ est fini, mais peut être discontinue si $V \to \infty$ ; $\psi$ est toujours continue (§ 4.3.5 du poly).

La méthode

1
Identifier les points de discontinuité $x_0$ du potentiel $V(x)$ et écrire les solutions de l'équation aux valeurs propres dans chaque région où $V$ est constant.
2
Continuité de $\psi$ : la fonction d'onde $\psi(x)$ est toujours continue en $x_0$ (l'équation de Schrödinger fait intervenir $\psi''$ , donc $\psi$ est au moins $C^0$ ). Écrire $\psi(x_0^-) = \psi(x_0^+)$ .
3
Continuité de $\psi'$ : intégrer l'équation de Schrödinger sur $[x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon]$ et faire tendre $\epsilon \to 0$ . Si $V$ est fini en $x_0$ , l'intégrale tend vers 0 et $\psi'$ est continue : $\psi'(x_0^-) = \psi'(x_0^+)$ . Si $V \to +\infty$ en $x_0$ , la discontinuité de $\psi'$ est possible.
4
Utiliser ces deux conditions pour relier les constantes d'intégration de part et d'autre de $x_0$ , ce qui fixe (ou quantifie) les valeurs propres $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Appliquer les conditions aux limites aux bords $x=0$ et $x=L$ du puits infini (où $V \to +\infty$ ).

Étape 1 —

Identifier les points de discontinuité

x_0

du potentiel

V(x)

et écrire les solutions de l'équation aux valeurs propres dans chaque région où

V

est constant.

En dehors de $[0,L]$ , $V = +\infty$ impose $\psi(x) = 0$ . La continuité de $\psi$ donne $\psi(0) = 0$ et $\psi(L) = 0$ .

Étape 2 —

Continuité de $\psi$ : la fonction d'onde

\psi(x)

est toujours continue en

x_0

(l'équation de Schrödinger fait intervenir

\psi''

, donc

\psi

est au moins

C^0

). Écrire

\psi(x_0^-) = \psi(x_0^+)

Ces conditions en $x = 0$ et $x = L$ sont des conditions de Dirichlet. La dérivée $\psi'$ peut être discontinue en ces points (puisque $V = +\infty$ ).

Étape 3 —

Continuité de $\psi'$ : intégrer l'équation de Schrödinger sur

[x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon]

et faire tendre

\epsilon \to 0

. Si

V

est fini en

x_0

, l'intégrale tend vers 0 et

\psi'

est continue :

\psi'(x_0^-) = \psi'(x_0^+)

. Si

V \to +\infty

x_0

, la discontinuité de

\psi'

est possible.

On vérifie effectivement que $\psi_n(x) = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ présente une rupture de pente en $x = 0$ et $x = L$ : $\psi_n'(0^+) = \sqrt{2/L}\cdot n\pi/L \neq 0$ alors que $\psi_n'(0^-) = 0$ .

Étape 4 —

Utiliser ces deux conditions pour relier les constantes d'intégration de part et d'autre de

x_0

, ce qui fixe (ou quantifie) les valeurs propres

E

Cette discontinuité de $\psi'$ est physiquement acceptable car $V = +\infty$ en $x = 0$ et $x = L$ . Les conditions aux limites $\psi(0) = \psi(L) = 0$ suffisent à quantifier les niveaux d'énergie.

Aux bords du puits infini ( $V = +\infty$ ) : $\psi$ continue ( $\psi = 0$ aux bords), $\psi'$ peut être discontinue.

Application guidée

Déterminer les conditions de raccordement à l'interface $x = 0$ entre une région $x < 0$ avec $V = V_0 > 0$ et une région $x > 0$ avec $V = 0$ (marche de potentiel, $V_0$ fini).

Application autonome 1

Justifier par intégration de l'équation de Schrödinger pourquoi $\psi'$ est toujours continue si $V$ est fini.

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