Comment calculer la fonction $f(\hat{A})$ d'un opérateur diagonalisable ? | MetMat

Comment calculer la fonction $f(\hat{A})$ d'un opérateur diagonalisable ?

En développant $f$ en série entière et en appliquant $f(\hat{A}) = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)} \hat{A}^k$

Calculer $f(\hat{A})$ pour un opérateur $\hat{A}$ en substituant l'opérateur dans le développement en série entière de la fonction $f$ .

L'objectif

Calculer $f(\hat{A})$ pour un opérateur $\hat{A}$ en substituant l'opérateur dans le développement en série entière de la fonction $f$ .

Le principe

Si $f(a) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k$ est le développement en série entière de $f$ (avec $f_k = f^{(k)}(0)/k!$ ), alors $f(\hat{A}) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k \hat{A}^k$ en remplaçant le scalaire $a$ par l'opérateur $\hat{A}$ (la série converge au sens de la norme d'opérateur).

La méthode

1
Écrire le développement en série entière de $f$ : $f(a) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k$ (par exemple $e^a = \sum_{k=0}^\infty a^k/k!$ , $\cos a = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a^{2k}/(2k)!$ , etc.), et remplacer $a$ par $\hat{A}$ .
2
Calculer les puissances successives $\hat{A}^k$ en exploitant toute propriété algébrique de $\hat{A}$ : idempotence ( $\hat{A}^2 = \hat{A}$ ), nilpotence ( $\hat{A}^n = 0$ à partir d'un certain rang), ou relation du type $\hat{A}^2 = \alpha\hat{I}$ qui permettent de réduire la série.
3
Regrouper les termes pour exprimer $f(\hat{A})$ sous forme fermée en fonction de $\hat{I}$ et de $\hat{A}$ (et éventuellement d'autres opérateurs), puis vérifier le résultat en le comparant à la méthode spectrale ou à une évaluation matricielle directe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $e^{\hat{A}}$ pour $\hat{A} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ (matrice nilpotente d'ordre 2 : $\hat{A}^2 = 0$ ).

Étape 1 —

Écrire le développement en série entière de

f

f(a) = \sum_{k=0}^{\infty} f_k a^k

(par exemple

e^a = \sum_{k=0}^\infty a^k/k!

\cos a = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a^{2k}/(2k)!

, etc.), et remplacer

a

par

\hat{A}

$e^{\hat{A}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\hat{A}^k}{k!} = \hat{I} + \hat{A} + \frac{\hat{A}^2}{2!} + \cdots$ .

Étape 2 —

Calculer les puissances successives

\hat{A}^k

en exploitant toute propriété algébrique de

\hat{A}

: idempotence (

\hat{A}^2 = \hat{A}

), nilpotence (

\hat{A}^n = 0

à partir d'un certain rang), ou relation du type

\hat{A}^2 = \alpha\hat{I}

qui permettent de réduire la série.

$\hat{A}^2 = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} = 0$ . Donc $\hat{A}^k = 0$ pour tout $k \geq 2$ : la série s'arrête au rang $k=1$ .

Étape 3 —

Regrouper les termes pour exprimer

f(\hat{A})

sous forme fermée en fonction de

\hat{I}

et de

\hat{A}

(et éventuellement d'autres opérateurs), puis vérifier le résultat en le comparant à la méthode spectrale ou à une évaluation matricielle directe.

$e^{\hat{A}} = \hat{I} + \hat{A} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ .

$e^{\hat{A}} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer $e^{i\theta\hat{\sigma}_z}$ par développement en série entière en exploitant $\hat{\sigma}_z^2 = \hat{I}$ .

Application autonome 1

Calculer $e^{i\theta\hat{\sigma}_x}$ par série entière en exploitant $\hat{\sigma}_x^2 = \hat{I}$ .

Application autonome 2

Calculer $e^{\hat{D}}$ pour $\hat{D} = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ (matrice diagonale).

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En développant fff en série entière et en appliquant f(A^)=∑k=0+∞f(k)A^kf(\hat{A}) = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)} \hat{A}^kf(A^)=∑k=0+∞​f(k)A^k

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $f$ en série entière et en appliquant $f(\hat{A}) = \sum_{k=0}^{+\infty} f^{(k)} \hat{A}^k$