Comment écrire et utiliser la relation de fermeture $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ ? | MetMat

Comment écrire et utiliser la relation de fermeture $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ ?

En écrivant $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ et en l'insérant dans une expression pour décomposer un ket ou un opérateur dans la base

Utiliser la relation de fermeture pour décomposer un ket ou un opérateur dans une base orthonormée donnée.

L'objectif

Utiliser la relation de fermeture pour décomposer un ket ou un opérateur dans une base orthonormée donnée.

Le principe

Pour toute base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ d'un espace de Hilbert, la somme des projecteurs $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ donne l'opérateur identité ; insérer $\hat{I}$ dans une expression est une technique systématique de changement de base ou de décomposition.

La méthode

1
Identifier la base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ pertinente et écrire la relation de fermeture $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ , en vérifiant que la somme couvre bien tout l'espace.
2
Insérer $\hat{I}$ au bon endroit dans l'expression : pour décomposer un ket $|\phi\rangle$ , écrire $|\phi\rangle = \hat{I}|\phi\rangle = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|\phi\rangle$ , ce qui fait apparaître les coefficients $c_n = \langle\psi_n|\phi\rangle$ .
3
Exploiter la décomposition obtenue : pour un opérateur $\hat{A}$ , insérer $\hat{I}$ à gauche et à droite pour écrire $\hat{A} = \hat{I}\hat{A}\hat{I} = \sum_{m,n} \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle \, |\psi_m\rangle\langle\psi_n| = \sum_{m,n} A_{m,n}|\psi_m\rangle\langle\psi_n|$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Vérifier la relation de fermeture $\hat{I} = |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|$ pour le spin-1/2.

Étape 1 —

Identifier la base orthonormée

\{|\psi_n\rangle\}

pertinente et écrire la relation de fermeture

\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|

, en vérifiant que la somme couvre bien tout l'espace.

Base : $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ . Relation de fermeture : $\hat{I} = |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|$ .

Étape 2 —

Insérer

\hat{I}

au bon endroit dans l'expression : pour décomposer un ket

|\phi\rangle

, écrire

|\phi\rangle = \hat{I}|\phi\rangle = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|\phi\rangle

, ce qui fait apparaître les coefficients

c_n = \langle\psi_n|\phi\rangle

En représentation matricielle : $|0\rangle\langle 0| = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}(1,0) = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $|1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Exploiter la décomposition obtenue : pour un opérateur

\hat{A}

, insérer

\hat{I}

à gauche et à droite pour écrire

\hat{A} = \hat{I}\hat{A}\hat{I} = \sum_{m,n} \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle \, |\psi_m\rangle\langle\psi_n| = \sum_{m,n} A_{m,n}|\psi_m\rangle\langle\psi_n|

$|0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \hat{I}$ . $\checkmark$

$\hat{I} = |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Utiliser la relation de fermeture dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ pour décomposer $|0\rangle$ .

Application autonome 1

Exprimer l'opérateur $\hat{\sigma}_z$ en termes de projecteurs $|0\rangle\langle 0|$ et $|1\rangle\langle 1|$ en utilisant la relation de fermeture.

Application autonome 2

Vérifier que le projecteur $\hat{P}_0 = |0\rangle\langle 0|$ est idempotent.

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En écrivant I^=∑n∣ψn⟩⟨ψn∣\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|I^=∑n​∣ψn​⟩⟨ψn​∣ et en l'insérant dans une expression pour décomposer un ket ou un opérateur dans la base

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $\hat{I} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ et en l'insérant dans une expression pour décomposer un ket ou un opérateur dans la base