En transposant le vecteur colonne associé au ket et en prenant le complexe conjugué de chaque composante

Construire le bra $\langle\psi|$ (vecteur de l'espace dual) à partir du ket $|\psi\rangle$ par transconjugaison.

L'objectif

Construire le bra $\langle\psi|$ (vecteur de l'espace dual) à partir du ket $|\psi\rangle$ par transconjugaison.

Le principe

Le bra $\langle\psi|$ est le transconjugué du ket $|\psi\rangle$ : en représentation matricielle, on transpose le vecteur colonne en vecteur ligne, puis on conjugue chaque composante.

La méthode

1
Écrire $|\psi\rangle$ comme vecteur colonne dans la base orthonormée : $|\psi\rangle \leftrightarrow \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{N-1} \end{pmatrix}$ , puis transposer pour obtenir le vecteur ligne $(c_0, c_1, \ldots, c_{N-1})$ .
2
Conjuguer chaque composante pour former le bra : $\langle\psi| \leftrightarrow (c_0^*, c_1^*, \ldots, c_{N-1}^*)$ . Vérifier que $\langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 \geq 0$ .

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Exercice d'exemple

Trouver le bra de $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ , i.e. $|\psi\rangle \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Écrire

|\psi\rangle

comme vecteur colonne dans la base orthonormée :

|\psi\rangle \leftrightarrow \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{N-1} \end{pmatrix}

, puis transposer pour obtenir le vecteur ligne

(c_0, c_1, \ldots, c_{N-1})

Vecteur colonne : $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$ . Transposé : $\frac{1}{\sqrt{2}}(1, i)$ .

Étape 2 —

Conjuguer chaque composante pour former le bra :

\langle\psi| \leftrightarrow (c_0^*, c_1^*, \ldots, c_{N-1}^*)

. Vérifier que

\langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 \geq 0

Conjugaison : $\langle\psi| \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(1^*, i^*) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i)$ .

$\langle\psi| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i)$ , i.e. $\langle\psi| = \frac{1}{\sqrt{2}}\langle 0| - \frac{i}{\sqrt{2}}\langle 1|$ .

Application guidée

Trouver le bra de l'état $|0\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Trouver le bra de l'état de spin $|\psi_y^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$ (vecteur propre de $\hat{\sigma}_y$ ).

Application autonome 2

Trouver le bra de l'état à 3 niveaux $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\-1\\i\end{pmatrix}$ .

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