Comment calculer le produit scalaire hermitien $\langle\psi|\psi'\rangle$ entre deux kets en notation de Dirac ? | MetMat

Comment calculer le produit scalaire hermitien $\langle\psi|\psi'\rangle$ entre deux kets en notation de Dirac ?

En représentant $\langle\psi|$ comme vecteur ligne (bra) et en effectuant le produit matriciel vecteur-ligne × vecteur-colonne

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ en représentation matricielle, en exploitant la structure vecteur-ligne × vecteur-colonne.

L'objectif

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ en représentation matricielle, en exploitant la structure vecteur-ligne × vecteur-colonne.

Le principe

Le bra $\langle\psi|$ est le transconjugué du ket $|\psi\rangle$ : si $|\psi\rangle \leftrightarrow (c_0, c_1, \ldots)^T$ , alors $\langle\psi| \leftrightarrow (c_0^*, c_1^*, \ldots)$ , et $\langle\psi|\psi'\rangle$ est le produit matriciel standard d'un vecteur ligne par un vecteur colonne.

La méthode

1
Écrire le bra $\langle\psi|$ comme vecteur ligne : $\langle\psi| = (c_0^*, c_1^*, \ldots, c_{N-1}^*)$ , où les $c_n^*$ sont les complexes conjugués des composantes de $|\psi\rangle$ dans la base orthonormée choisie.
2
Écrire le ket $|\psi'\rangle$ comme vecteur colonne : $|\psi'\rangle = \begin{pmatrix} c_0' \\ c_1' \\ \vdots \\ c_{N-1}' \end{pmatrix}$ .
3
Effectuer le produit matriciel ligne × colonne : $\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_{n=0}^{N-1} c_n^* c_n'$ , et vérifier que le résultat est un scalaire complexe vérifiant $\langle\psi'|\psi\rangle = \langle\psi|\psi'\rangle^*$ .

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Exercice d'exemple

Calculer $\langle + |\psi\rangle$ avec $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $|\psi\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ (état $|0\rangle$ ) dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ .

Étape 1 —

Écrire le bra

\langle\psi|

comme vecteur ligne :

\langle\psi| = (c_0^*, c_1^*, \ldots, c_{N-1}^*)

, où les

c_n^*

sont les complexes conjugués des composantes de

|\psi\rangle

dans la base orthonormée choisie.

$\langle +| = \frac{1}{\sqrt{2}}(1^*, 1^*) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$ .

Étape 2 —

Écrire le ket

|\psi'\rangle

comme vecteur colonne :

|\psi'\rangle = \begin{pmatrix} c_0' \\ c_1' \\ \vdots \\ c_{N-1}' \end{pmatrix}

$|\psi\rangle = |0\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Effectuer le produit matriciel ligne × colonne :

\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_{n=0}^{N-1} c_n^* c_n'

, et vérifier que le résultat est un scalaire complexe vérifiant

\langle\psi'|\psi\rangle = \langle\psi|\psi'\rangle^*

$\langle +|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . $\checkmark$

$\langle +|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Application guidée

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ avec $|\psi\rangle = \begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}$ non normé et $|\psi'\rangle = \begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$ non normé.

Application autonome 1

Calculer $\langle 1|\psi\rangle$ avec $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\i\end{pmatrix}$ dans la base canonique de dimension 3.

Application autonome 2

Calculer $\langle\psi_y^-|\psi_y^+\rangle$ avec $|\psi_y^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$ et $|\psi_y^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$ .

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En représentant ⟨ψ∣\langle\psi|⟨ψ∣ comme vecteur ligne (bra) et en effectuant le produit matriciel vecteur-ligne × vecteur-colonne

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