Comment appliquer le théorème d'Ehrenfest pour calculer $\dfrac{d}{dt}\langle A\rangle$ ? | MetMat

Comment appliquer le théorème d'Ehrenfest pour calculer $\dfrac{d}{dt}\langle A\rangle$ ?

En calculant $\dfrac{d}{dt}\langle A\rangle = \dfrac{1}{i\hbar}\langle\psi(t)|[\hat{A},\hat{H}(t)]|\psi(t)\rangle$ à partir de l'équation de Schrödinger

Calculer la dérivée temporelle $\frac{d}{dt}\langle A\rangle$ de la valeur moyenne d'une observable en utilisant le théorème d'Ehrenfest et le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ .

L'objectif

Calculer la dérivée temporelle $\frac{d}{dt}\langle A\rangle$ de la valeur moyenne d'une observable en utilisant le théorème d'Ehrenfest et le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ .

Le principe

Le théorème d'Ehrenfest découle de l'équation de Schrödinger : pour une observable $\hat{A}$ ne dépendant pas explicitement du temps,

$\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi(t)|[\hat{A},\hat{H}(t)]|\psi(t)\rangle.$

Pour l'appliquer, il suffit de calculer le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ puis d'évaluer sa valeur moyenne dans l'état $|\psi(t)\rangle$ .

La méthode

1
Écrire la dérivée temporelle de la valeur moyenne en utilisant l'équation de Schrödinger pour $d|\psi(t)\rangle/dt = \frac{\hat{H}}{i\hbar}|\psi(t)\rangle$ et son conjugué $d\langle\psi(t)|/dt = -\frac{1}{i\hbar}\langle\psi(t)|\hat{H}$ (avec $\hat{H}$ hermitien) : $\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\dot{\psi}|\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}|\dot{\psi}\rangle.$
2
Substituer $|\dot{\psi}\rangle = \frac{\hat{H}}{i\hbar}|\psi\rangle$ et $\langle\dot{\psi}| = -\frac{1}{i\hbar}\langle\psi|\hat{H}$ , puis regrouper les termes : $\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\left(-\langle\psi|\hat{H}\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\hat{H}|\psi\rangle\right) = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi|[\hat{A},\hat{H}]|\psi\rangle.$
3
Calculer le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ (par calcul direct ou par les identités algébriques), puis évaluer sa valeur moyenne dans l'état $|\psi(t)\rangle$ pour obtenir $d\langle A\rangle/dt$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Calculer $\dfrac{d}{dt}\langle\hat{\sigma}_z\rangle$ pour $\hat{H} = \dfrac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_x$ et l'état général $|\psi(t)\rangle$ .

Étape 1 —

Écrire la dérivée temporelle de la valeur moyenne en utilisant l'équation de Schrödinger pour

d|\psi(t)\rangle/dt = \frac{\hat{H}}{i\hbar}|\psi(t)\rangle

et son conjugué

d\langle\psi(t)|/dt = -\frac{1}{i\hbar}\langle\psi(t)|\hat{H}

(avec

\hat{H}

hermitien) :

\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\dot{\psi}|\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}|\dot{\psi}\rangle.

Identifier $\hat{A} = \hat{\sigma}_z$ et $\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_x$ . Par le théorème d'Ehrenfest : $\frac{d\langle\hat{\sigma}_z\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{\sigma}_z, \hat{H}]\rangle.$

Étape 2 —

Substituer

|\dot{\psi}\rangle = \frac{\hat{H}}{i\hbar}|\psi\rangle

\langle\dot{\psi}| = -\frac{1}{i\hbar}\langle\psi|\hat{H}

, puis regrouper les termes :

\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\left(-\langle\psi|\hat{H}\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\hat{H}|\psi\rangle\right) = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi|[\hat{A},\hat{H}]|\psi\rangle.

Calculer le commutateur : $[\hat{\sigma}_z, \hat{H}] = \left[\hat{\sigma}_z, \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_x\right] = \frac{\hbar\omega_0}{2}[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_x] = \frac{\hbar\omega_0}{2}\cdot 2i\hat{\sigma}_y = i\hbar\omega_0\hat{\sigma}_y.$

Étape 3 —

Calculer le commutateur

[\hat{A},\hat{H}]

(par calcul direct ou par les identités algébriques), puis évaluer sa valeur moyenne dans l'état

|\psi(t)\rangle

pour obtenir

d\langle A\rangle/dt

Appliquer le théorème : $\frac{d\langle\hat{\sigma}_z\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle i\hbar\omega_0\hat{\sigma}_y\rangle = \omega_0\langle\hat{\sigma}_y\rangle.$ La valeur moyenne de $\sigma_z$ oscille couplée à $\langle\hat{\sigma}_y\rangle$ — c'est la précession de Larmor.

$\dfrac{d}{dt}\langle\hat{\sigma}_z\rangle = \omega_0\langle\hat{\sigma}_y\rangle.$

Application guidée

Calculer $\dfrac{d}{dt}\langle\hat{H}\rangle$ pour un système isolé (hamiltonien $\hat{H}$ indépendant du temps).

Application autonome 1

Calculer $\dfrac{d}{dt}\langle\hat{\sigma}_x\rangle$ pour $\hat{H} = \dfrac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant ddt⟨A⟩=1iℏ⟨ψ(t)∣[A^,H^(t)]∣ψ(t)⟩\dfrac{d}{dt}\langle A\rangle = \dfrac{1}{i\hbar}\langle\psi(t)|[\hat{A},\hat{H}(t)]|\psi(t)\rangledtd​⟨A⟩=iℏ1​⟨ψ(t)∣[A^,H^(t)]∣ψ(t)⟩ à partir de l'équation de Schrödinger

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\dfrac{d}{dt}\langle A\rangle = \dfrac{1}{i\hbar}\langle\psi(t)|[\hat{A},\hat{H}(t)]|\psi(t)\rangle$ à partir de l'équation de Schrödinger