Comment calculer un commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ et utiliser ses identités algébriques pour simplifier ? | MetMat

Comment calculer un commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ et utiliser ses identités algébriques pour simplifier ?

En appliquant les identités algébriques $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}] = \hat{A}[\hat{B},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$ et $[\hat{A},\hat{B}\hat{C}] = \hat{B}[\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{B}]\hat{C}$ pour factoriser

Simplifier le calcul de commutateurs complexes (produits d'opérateurs, puissances) en utilisant les identités algébriques qui décomposent un commutateur en commutateurs élémentaires connus.

L'objectif

Simplifier le calcul de commutateurs complexes (produits d'opérateurs, puissances) en utilisant les identités algébriques qui décomposent un commutateur en commutateurs élémentaires connus.

Le principe

Les commutateurs vérifient des identités de type règle de Leibniz : $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}] = \hat{A}[\hat{B},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$ et $[\hat{A},\hat{B}\hat{C}] = \hat{B}[\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{B}]\hat{C}$ . Combinées avec la bilinéarité ( $[\alpha\hat{A}+\beta\hat{B}, \hat{C}] = \alpha[\hat{A},\hat{C}]+\beta[\hat{B},\hat{C}]$ ) et l'antisymétrie ( $[\hat{A},\hat{B}] = -[\hat{B},\hat{A}]$ ), elles permettent de ramener tout commutateur à une combinaison de commutateurs élémentaires connus.

La méthode

1
Identifier la structure du commutateur à calculer : est-il de la forme $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]$ (produit dans le premier argument) ou $[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]$ (produit dans le second argument) ? Éventuellement réécrire le commutateur pour faire apparaître cette structure.
2
Appliquer l'identité appropriée pour décomposer le commutateur en commutateurs plus simples : $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}] = \hat{A}[\hat{B},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$ , ou $[\hat{A},\hat{B}\hat{C}] = \hat{B}[\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{B}]\hat{C}$ .
3
Calculer les commutateurs élémentaires obtenus, en utilisant si nécessaire la bilinéarité $[\alpha\hat{A}, \hat{B}] = \alpha[\hat{A},\hat{B}]$ et l'antisymétrie $[\hat{A},\hat{B}] = -[\hat{B},\hat{A}]$ . Rassembler les termes pour obtenir l'expression finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Calculer $[\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y]$ en utilisant les identités algébriques et la relation $[\hat{\sigma}_i, \hat{\sigma}_j] = 2i\,\epsilon_{ijk}\hat{\sigma}_k$ .

Étape 1 —

Identifier la structure du commutateur à calculer : est-il de la forme

[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]

(produit dans le premier argument) ou

[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]

(produit dans le second argument) ? Éventuellement réécrire le commutateur pour faire apparaître cette structure.

Le commutateur est de la forme $[\hat{A}\hat{B}, \hat{C}]$ avec $\hat{A} = \hat{\sigma}_x$ , $\hat{B} = \hat{\sigma}_z$ , $\hat{C} = \hat{\sigma}_y$ .

Étape 2 —

Appliquer l'identité appropriée pour décomposer le commutateur en commutateurs plus simples :

[\hat{A}\hat{B},\hat{C}] = \hat{A}[\hat{B},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{C}]\hat{B}

, ou

[\hat{A},\hat{B}\hat{C}] = \hat{B}[\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{B}]\hat{C}

Appliquer l'identité : $[\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y] = \hat{\sigma}_x[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y] + [\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_y]\hat{\sigma}_z.$

Étape 3 —

Calculer les commutateurs élémentaires obtenus, en utilisant si nécessaire la bilinéarité

[\alpha\hat{A}, \hat{B}] = \alpha[\hat{A},\hat{B}]

et l'antisymétrie

[\hat{A},\hat{B}] = -[\hat{B},\hat{A}]

. Rassembler les termes pour obtenir l'expression finale.

Commutateurs élémentaires : $[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y] = -[\hat{\sigma}_y, \hat{\sigma}_z] = -2i\hat{\sigma}_x$ et $[\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_y] = 2i\hat{\sigma}_z.$ Donc : $[\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y] = \hat{\sigma}_x(-2i\hat{\sigma}_x) + 2i\hat{\sigma}_z\hat{\sigma}_z = -2i\hat{\sigma}_x^2 + 2i\hat{\sigma}_z^2 = -2iI + 2iI = 0.$

$[\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_y] = 0.$

Application guidée

Calculer $[\hat{H}, \hat{\sigma}_x]$ pour $\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ en utilisant la bilinéarité.

Application autonome 1

Montrer que $[\hat{A}^2, \hat{B}] = \hat{A}[\hat{A},\hat{B}] + [\hat{A},\hat{B}]\hat{A}$ en utilisant l'identité de décomposition.

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