Comment calculer un commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ et utiliser ses identités algébriques pour simplifier ? | MetMat

Comment calculer un commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ et utiliser ses identités algébriques pour simplifier ?

En calculant directement $[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$ en représentation matricielle

Calculer numériquement le commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ de deux opérateurs en représentation matricielle, pour déterminer si les observables commutent ou non.

L'objectif

Calculer numériquement le commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ de deux opérateurs en représentation matricielle, pour déterminer si les observables commutent ou non.

Le principe

Le commutateur $[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$ se calcule en représentation matricielle par multiplication directe des matrices, puis soustraction. Pour deux matrices diagonales, le commutateur est toujours nul. Pour des matrices non commutantes (comme les matrices de Pauli), le commutateur est non nul et lui-même un opérateur.

La méthode

1
Écrire les matrices de $\hat{A}$ et $\hat{B}$ dans une base choisie (généralement la base propre de l'un des deux opérateurs, ou la base canonique).
2
Calculer les produits matriciels $\hat{A}\hat{B}$ et $\hat{B}\hat{A}$ séparément, en appliquant la règle de multiplication matricielle $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$ .
3
Soustraire : $[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$ . Si le résultat est la matrice nulle, les observables commutent ( $[\hat{A},\hat{B}] = 0$ ) et admettent une base propre commune. Sinon, noter le résultat (souvent proportionnel à un troisième opérateur).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $[\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_z]$ dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ .

Étape 1 —

Écrire les matrices de

\hat{A}

\hat{B}

dans une base choisie (généralement la base propre de l'un des deux opérateurs, ou la base canonique).

Matrices de Pauli : $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$

Étape 2 —

Calculer les produits matriciels

\hat{A}\hat{B}

\hat{B}\hat{A}

séparément, en appliquant la règle de multiplication matricielle

(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}

$\sigma_x\sigma_z = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $\sigma_z\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$

Étape 3 —

Soustraire :

[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}

. Si le résultat est la matrice nulle, les observables commutent (

[\hat{A},\hat{B}] = 0

) et admettent une base propre commune. Sinon, noter le résultat (souvent proportionnel à un troisième opérateur).

$[\sigma_x, \sigma_z] = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -2i\,\sigma_y.$ Les observables ne commutent pas.

$[\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_z] = -2i\,\hat{\sigma}_y.$

Application guidée

Calculer $[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_z]$ .

Application autonome 1

Calculer $[\hat{A}, \hat{B}]$ pour deux matrices diagonales $A = \text{diag}(a_1, a_2)$ et $B = \text{diag}(b_1, b_2)$ .

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En calculant directement [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}[A^,B^]=A^B^−B^A^ en représentation matricielle

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant directement $[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$ en représentation matricielle