Comment calculer l'état $|\psi(t)\rangle$ à un instant $t$ à partir des états propres du hamiltonien ? | MetMat

Comment calculer l'état $|\psi(t)\rangle$ à un instant $t$ à partir des états propres du hamiltonien ?

En calculant les coefficients initiaux $c_n(t_0) = \langle\psi_n|\psi(t_0)\rangle$ , puis en écrivant $|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\,e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle$

Calculer l'état quantique $|\psi(t)\rangle$ à tout instant $t$ , à partir de la donnée des états propres $|\psi_n\rangle$ et des énergies $E_n$ du hamiltonien et de l'état initial $|\psi(t_0)\rangle$ .

L'objectif

Le principe

La solution de l'équation de Schrödinger pour $\hat{H}$ indépendant du temps est $|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\,e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle$ . Chaque composante propre acquiert une phase temporelle, mais sa probabilité $|c_n|^2$ reste constante. On calcule d'abord les coefficients par projection, puis on multiplie par les phases.

La méthode

1
Identifier les états propres $|\psi_n\rangle$ et énergies $E_n$ du hamiltonien (donnés ou à calculer via l'équation aux valeurs propres $\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle$ ).
2
Projeter l'état initial sur chaque état propre : $c_n(t_0) = \langle\psi_n|\psi(t_0)\rangle$ . Vérifier la normalisation $\sum_n |c_n(t_0)|^2 = 1$ .
3
Construire l'état à l'instant $t$ en multipliant chaque composante par le facteur de phase : $|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\, e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle.$ Calculer ensuite les probabilités de mesure à l'instant $t$ via $P(E_n,t) = |\langle\psi_n|\psi(t)\rangle|^2 = |c_n(t_0)|^2 = $ constante.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Spin-1/2 avec $\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ . L'état initial est $|\psi(0)\rangle = |+x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$ . Calculer $|\psi(t)\rangle$ et la probabilité de trouver le spin dans l'état $|+\rangle$ .

Étape 1 —

Identifier les états propres

|\psi_n\rangle

et énergies

E_n

du hamiltonien (donnés ou à calculer via l'équation aux valeurs propres

\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle

États propres : $|+\rangle$ ( $E_+ = +\hbar\omega_0/2$ ) et $|-\rangle$ ( $E_- = -\hbar\omega_0/2$ ).

Étape 2 —

Projeter l'état initial sur chaque état propre :

c_n(t_0) = \langle\psi_n|\psi(t_0)\rangle

. Vérifier la normalisation

\sum_n |c_n(t_0)|^2 = 1

Coefficients initiaux : $c_+(0) = \langle+|+x\rangle = 1/\sqrt{2}$ et $c_-(0) = \langle-|+x\rangle = 1/\sqrt{2}$ .

Étape 3 —

Construire l'état à l'instant

t

en multipliant chaque composante par le facteur de phase :

|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\, e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle.

Calculer ensuite les probabilités de mesure à l'instant

t

État à l'instant $t$ : $|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle + e^{+i\omega_0 t/2}|-\rangle\right).$ Probabilité : $P(E_+, t) = |c_+(0)|^2 = 1/2$ , constante.

$|\psi(t)\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle + e^{+i\omega_0 t/2}|-\rangle\right)$ , avec $P(E_+, t) = 1/2$ .

Application guidée

Système à deux niveaux : $E_1$ , $E_2$ , états propres $|1\rangle$ , $|2\rangle$ . À $t_0 = 0$ : $|\psi(0)\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle + \frac{1}{2}|2\rangle$ . Calculer $|\psi(t)\rangle$ et $P(E_2, t)$ .

Application autonome 1

Système à trois niveaux avec $E_n = n\hbar\omega$ ( $n=1,2,3$ ). L'état initial est $|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|1\rangle + |2\rangle + |3\rangle)$ . Calculer $|\psi(t)\rangle$ .

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