Comment montrer qu'une mesure est certaine ($\Delta A = 0$) et en déduire que l'état est propre de l'observable ? | MetMat

Comment montrer qu'une mesure est certaine ( $\Delta A = 0$ ) et en déduire que l'état est propre de l'observable ?

En reformulant $\Delta A^2 = \|(\hat{A} - a\hat{I})|\psi\rangle\|^2$ et en montrant que $\Delta A = 0 \Leftrightarrow \hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle$

Montrer qu'une variance nulle $\Delta A = 0$ est équivalente au fait que $|\psi\rangle$ est vecteur propre de $\hat{A}$ , et en déduire la répétabilité de la mesure.

L'objectif

Montrer qu'une variance nulle $\Delta A = 0$ est équivalente au fait que $|\psi\rangle$ est vecteur propre de $\hat{A}$ , et en déduire la répétabilité de la mesure.

Le principe

La variance $\Delta A^2 = \langle\psi|(\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})^2|\psi\rangle$ peut être réécrite comme la norme au carré d'un vecteur : $\Delta A^2 = \|(\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})|\psi\rangle\|^2 \geq 0$ . Or une norme est nulle si et seulement si le vecteur est nul, ce qui donne directement l'équivalence $\Delta A = 0 \Leftrightarrow \hat{A}|\psi\rangle = \langle A\rangle|\psi\rangle$ .

La méthode

1
Écrire la variance sous la forme $\Delta A^2 = \langle\psi|(\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})^2|\psi\rangle = \|(\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})|\psi\rangle\|^2$ (en utilisant le fait que $\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I}$ est hermitien).
2
Conclure que $\Delta A = 0 \Leftrightarrow (\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})|\psi\rangle = \mathbf{0}$ , soit $\hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle$ avec $a = \langle A\rangle$ .
3
Interpréter : $|\psi\rangle$ est vecteur propre de $\hat{A}$ avec valeur propre $a = \langle A\rangle$ , toute mesure de $A$ donnera avec certitude la valeur $a$ . La répétabilité est garantie car l'état après mesure reste $|\psi\rangle$ (à une phase globale près).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Montrer que $|0\rangle$ est état propre de $\hat{\sigma}_z$ et que $\Delta\sigma_z = 0$ , puis vérifier que $|{+}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$ donne $\Delta\sigma_z \neq 0$ .

Étape 1 —

Écrire la variance sous la forme

\Delta A^2 = \langle\psi|(\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})^2|\psi\rangle = \|(\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})|\psi\rangle\|^2

(en utilisant le fait que

\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I}

est hermitien).

Pour $|0\rangle$ : $(\hat{\sigma}_z - \langle\sigma_z\rangle\hat{I})|0\rangle = (\hat{\sigma}_z - 1 \cdot \hat{I})|0\rangle$ (car $\langle\sigma_z\rangle = 1$ pour l'état $|0\rangle$ ). On calcule $(\hat{\sigma}_z - \hat{I})|0\rangle = (|0\rangle - |0\rangle) = \mathbf{0}$ . Pour $|{+}\rangle_x$ : $\langle\sigma_z\rangle = \langle{+}|_x\,\hat{\sigma}_z|{+}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(\langle 0|+\langle 1|)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) = 0$ .

Étape 2 —

Conclure que

\Delta A = 0 \Leftrightarrow (\hat{A}-\langle A\rangle\hat{I})|\psi\rangle = \mathbf{0}

, soit

\hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle

avec

a = \langle A\rangle

Pour $|0\rangle$ : $(\hat{\sigma}_z - \hat{I})|0\rangle = \mathbf{0}$ , donc $\Delta\sigma_z = \|\mathbf{0}\| = 0$ et $\hat{\sigma}_z|0\rangle = 1\cdot|0\rangle$ . Pour $|{+}\rangle_x$ : $(\hat{\sigma}_z - 0 \cdot \hat{I})|{+}\rangle_x = \hat{\sigma}_z|{+}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) = |{-}\rangle_x \neq \mathbf{0}$ .

Étape 3 —

Interpréter :

|\psi\rangle

est vecteur propre de

\hat{A}

avec valeur propre

a = \langle A\rangle

, toute mesure de

A

donnera avec certitude la valeur

a

. La répétabilité est garantie car l'état après mesure reste

|\psi\rangle

(à une phase globale près).

Interprétation : $|0\rangle$ est propre de $\hat{\sigma}_z$ (valeur propre $+1$ ), toute mesure donne $+1$ avec certitude, répétabilité assurée. Pour $|{+}\rangle_x$ : $\Delta\sigma_z = \||{-}\rangle_x\| = 1 \neq 0$ , la mesure de $\hat{\sigma}_z$ est aléatoire ( $+1$ ou $-1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ ).

$|0\rangle$ : $\Delta\sigma_z = 0$ (état propre de $\hat{\sigma}_z$ ). $|{+}\rangle_x$ : $\Delta\sigma_z = 1 \neq 0$ .

Application guidée

Un système à 3 niveaux est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle$ (où $|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle$ sont états propres de $\hat{H}$ avec valeurs propres $E_1, E_2, E_3$ ). Déterminer si $\Delta H = 0$ ou non, et interpréter.

Application autonome 1

Montrer qu'un état propre quelconque $|\phi\rangle$ de l'observable $\hat{B}$ (valeur propre $b$ ) satisfait $\Delta B = 0$ , et que toute mesure répétée de $\hat{B}$ donne $b$ avec certitude.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En reformulant ΔA2=∥(A^−aI^)∣ψ⟩∥2\Delta A^2 = \|(\hat{A} - a\hat{I})|\psi\rangle\|^2ΔA2=∥(A^−aI^)∣ψ⟩∥2 et en montrant que ΔA=0⇔A^∣ψ⟩=a∣ψ⟩\Delta A = 0 \Leftrightarrow \hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangleΔA=0⇔A^∣ψ⟩=a∣ψ⟩

Pour comprendre, fais des exercices !

En reformulant $\Delta A^2 = \|(\hat{A} - a\hat{I})|\psi\rangle\|^2$ et en montrant que $\Delta A = 0 \Leftrightarrow \hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle$