Comment calculer la valeur moyenne $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ et la variance $\Delta A^2$ d'une grandeur physique ? | MetMat

Comment calculer la valeur moyenne $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ et la variance $\Delta A^2$ d'une grandeur physique ?

En calculant $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ par le produit bra-opérateur-ket, puis la variance $\Delta A^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$

Calculer la valeur moyenne $\langle A\rangle$ , la variance $\Delta A^2$ et l'écart-type $\Delta A$ d'une grandeur physique associée à l'observable $\hat{A}$ , lorsque le système est dans l'état $|\psi\rangle$ .

L'objectif

Le principe

La valeur moyenne est $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ , qui se calcule aussi comme $\sum_n a_n P(a_n)$ . La variance $\Delta A^2 = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2$ mesure la dispersion des résultats de mesure autour de la moyenne. L'écart-type $\Delta A$ est la racine de la variance.

La méthode

1
Calculer la valeur moyenne : $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ . En pratique, décomposer $\hat{A}|\psi\rangle$ dans la base, puis effectuer le produit scalaire avec $\langle\psi|$ . Alternativement, $\langle A\rangle = \sum_n a_n P(a_n)$ .
2
Calculer $\langle A^2\rangle = \langle\psi|\hat{A}^2|\psi\rangle$ en appliquant $\hat{A}$ deux fois à $|\psi\rangle$ (ou en utilisant $\langle A^2\rangle = \sum_n a_n^2 P(a_n)$ ).
3
En déduire la variance $\Delta A^2 = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2$ et l'écart-type $\Delta A = \sqrt{\Delta A^2}$ . Vérifier que $\Delta A^2 \geq 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ avec $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ . Calculer $\langle\sigma_z\rangle$ , $\langle\sigma_z^2\rangle$ et $\Delta\sigma_z$ , sachant que $\hat{\sigma}_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Calculer la valeur moyenne :

\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle

. En pratique, décomposer

\hat{A}|\psi\rangle

dans la base, puis effectuer le produit scalaire avec

\langle\psi|

. Alternativement,

\langle A\rangle = \sum_n a_n P(a_n)

Calculer $\hat{\sigma}_z|\psi\rangle = \alpha|0\rangle - \beta|1\rangle$ . Puis $\langle\sigma_z\rangle = \langle\psi|\hat{\sigma}_z|\psi\rangle = (\alpha^*\langle 0| + \beta^*\langle 1|)(\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle) = |\alpha|^2 - |\beta|^2$ .

Étape 2 —

Calculer

\langle A^2\rangle = \langle\psi|\hat{A}^2|\psi\rangle

en appliquant

\hat{A}

deux fois à

|\psi\rangle

(ou en utilisant

\langle A^2\rangle = \sum_n a_n^2 P(a_n)

Calculer $\hat{\sigma}_z^2 = \hat{I}$ (car $\hat{\sigma}_z^2|\psi\rangle = |\psi\rangle$ ), donc $\langle\sigma_z^2\rangle = \langle\psi|\psi\rangle = 1$ . On peut aussi le vérifier : $\langle\sigma_z^2\rangle = (+1)^2|\alpha|^2 + (-1)^2|\beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ .

Étape 3 —

En déduire la variance

\Delta A^2 = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2

et l'écart-type

\Delta A = \sqrt{\Delta A^2}

. Vérifier que

\Delta A^2 \geq 0

$\langle\sigma_z\rangle = |\alpha|^2 - |\beta|^2$ , $\langle\sigma_z^2\rangle = 1$ , $\Delta\sigma_z = 2|\alpha||\beta|$ .

Application guidée

Le spin est dans l'état $|{+}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ . Calculer $\langle\sigma_x\rangle$ , $\langle\sigma_x^2\rangle$ et $\Delta\sigma_x$ , sachant que $\hat{\sigma}_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Le spin est dans l'état $|0\rangle$ (propre de $\hat{\sigma}_z$ ). Calculer $\langle\sigma_x\rangle$ , $\langle\sigma_x^2\rangle$ et $\Delta\sigma_x$ .

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En calculant ⟨A⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle⟨A⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩ par le produit bra-opérateur-ket, puis la variance ΔA2=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2\Delta A^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2ΔA2=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\langle A\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ par le produit bra-opérateur-ket, puis la variance $\Delta A^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$