Comment déterminer l'état du système après une mesure dans le cas dégénéré ? | MetMat

Comment déterminer l'état du système après une mesure dans le cas dégénéré ?

En appliquant le projecteur $\hat{P}_n$ à l'état initial puis en normalisant : $|\psi'\rangle = \hat{P}_n|\psi\rangle\,/\,\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|$

Déterminer l'état normalisé du système immédiatement après une mesure qui a donné la valeur propre dégénérée $a_n$ .

L'objectif

Déterminer l'état normalisé du système immédiatement après une mesure qui a donné la valeur propre dégénérée $a_n$ .

Le principe

Dans le cas dégénéré, la mesure projette l'état sur le sous-espace propre tout entier, et non sur un vecteur propre unique. L'état post-mesure est la projection $\hat{P}_n|\psi\rangle$ normalisée. La norme au dénominateur vaut $\sqrt{P(a_n)}$ , de sorte que l'état résultant est bien normé.

La méthode

1
Identifier le sous-espace propre de $a_n$ et construire le projecteur $\hat{P}_n = \sum_{r=1}^{g_n} |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|$ à partir d'une base orthonormée de ce sous-espace.
2
Appliquer le projecteur à l'état initial pour obtenir la composante dans le sous-espace propre : $\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_{r=1}^{g_n} c_{n,r}|\psi_{n,r}\rangle$ avec $c_{n,r} = \langle\psi_{n,r}|\psi\rangle$ .
3
Normaliser l'état projeté : $|\psi'\rangle = \dfrac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|}$ . La norme au dénominateur est $\|\hat{P}_n|\psi\rangle\| = \sqrt{P(a_n)} = \sqrt{\sum_r |c_{n,r}|^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Reprenons le système à 4 niveaux de M12, Exemple 1 : $|\psi\rangle = \frac{1}{2}|e_1\rangle + \frac{1}{2}|e_2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|e_4\rangle$ , valeur propre dégénérée $a_2 = 1$ (sous-espace $\{|e_2\rangle, |e_3\rangle, |e_4\rangle\}$ , $P(a_2) = 3/4$ ). Donner l'état après mesure.

Étape 1 —

Identifier le sous-espace propre de

a_n

et construire le projecteur

\hat{P}_n = \sum_{r=1}^{g_n} |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|

à partir d'une base orthonormée de ce sous-espace.

Projecteur sur le sous-espace de $a_2 = 1$ : $\hat{P}_2 = |e_2\rangle\langle e_2| + |e_3\rangle\langle e_3| + |e_4\rangle\langle e_4|$ .

Étape 2 —

Appliquer le projecteur à l'état initial pour obtenir la composante dans le sous-espace propre :

\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_{r=1}^{g_n} c_{n,r}|\psi_{n,r}\rangle

avec

c_{n,r} = \langle\psi_{n,r}|\psi\rangle

Appliquer : $\hat{P}_2|\psi\rangle = \frac{1}{2}|e_2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|e_4\rangle$ . On a $c_{2,1} = \frac{1}{2}$ , $c_{2,2} = 0$ , $c_{2,3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Étape 3 —

Normaliser l'état projeté :

|\psi'\rangle = \dfrac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|}

. La norme au dénominateur est

\|\hat{P}_n|\psi\rangle\| = \sqrt{P(a_n)} = \sqrt{\sum_r |c_{n,r}|^2}

Norme : $\|\hat{P}_2|\psi\rangle\| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . État normalisé : $|\psi'\rangle = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\frac{1}{2}|e_2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|e_4\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}|e_2\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|e_4\rangle$ .

$|\psi'\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{3}}|e_2\rangle + \sqrt{\dfrac{2}{3}}|e_4\rangle$ .

Application guidée

Système à 3 niveaux, M12 Exemple 3 : $|\psi\rangle = \frac{1}{2}|1\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|2\rangle$ , valeur propre dégénérée $E_2$ (sous-espace $\{|2\rangle, |3\rangle\}$ , $P(E_2) = 3/4$ ). Donner l'état après mesure.

Application autonome 1

Un système à 4 niveaux a $\hat{B}$ avec valeur propre $b$ doublement dégénérée (base $\{|u\rangle, |v\rangle\}$ ). L'état est $|\psi\rangle = \frac{1}{2}|u\rangle - \frac{i}{2}|v\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|w\rangle$ (où $|w\rangle$ est propre d'une autre valeur propre). La mesure de $\hat{B}$ donne $b$ . Donner l'état après mesure.

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En appliquant le projecteur P^n\hat{P}_nP^n​ à l'état initial puis en normalisant : ∣ψ′⟩=P^n∣ψ⟩ / ∥P^n∣ψ⟩∥|\psi'\rangle = \hat{P}_n|\psi\rangle\,/\,\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|∣ψ′⟩=P^n​∣ψ⟩/∥P^n​∣ψ⟩∥

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En appliquant le projecteur $\hat{P}_n$ à l'état initial puis en normalisant : $|\psi'\rangle = \hat{P}_n|\psi\rangle\,/\,\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|$