Comment déterminer l'état du système juste après une mesure (cas non dégénéré) ? | MetMat

Comment déterminer l'état du système juste après une mesure (cas non dégénéré) ?

En projetant l'état $|\psi\rangle$ sur le vecteur propre $|\psi_n\rangle$ associé à la valeur mesurée : l'état après mesure est $|\psi_n\rangle$ (à une phase globale près)

Déterminer l'état quantique du système immédiatement après une mesure qui a donné le résultat $a_n$ , dans le cas d'un spectre non dégénéré.

L'objectif

Déterminer l'état quantique du système immédiatement après une mesure qui a donné le résultat $a_n$ , dans le cas d'un spectre non dégénéré.

Le principe

Le postulat de la mesure stipule que si la mesure de $\hat{A}$ donne le résultat $a_n$ (non dégénéré), l'état du système est instantanément projeté sur le vecteur propre $|\psi_n\rangle$ correspondant. Ce « collapse » ou réduction du paquet d'onde est indépendant de l'état initial $|\psi\rangle$ (sauf pour la probabilité d'obtenir $a_n$ ).

La méthode

1
Identifier la valeur propre $a_n$ obtenue lors de la mesure et le vecteur propre normé $|\psi_n\rangle$ associé (solution de $\hat{A}|\psi_n\rangle = a_n|\psi_n\rangle$ ).
2
Appliquer le postulat de la mesure (cas non dégénéré) : l'état du système juste après la mesure est $|\psi_n\rangle$ , indépendamment de l'état initial $|\psi\rangle$ .
3
Vérifier la répétabilité : une deuxième mesure immédiate de $A$ donnera à nouveau $a_n$ avec certitude, car $\hat{A}|\psi_n\rangle = a_n|\psi_n\rangle$ , soit $P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi_n\rangle|^2 = 1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ . On mesure $\hat{\sigma}_z$ et on obtient le résultat $-1$ . Quel est l'état du système juste après la mesure ?

Étape 1 —

Identifier la valeur propre

a_n

obtenue lors de la mesure et le vecteur propre normé

|\psi_n\rangle

associé (solution de

\hat{A}|\psi_n\rangle = a_n|\psi_n\rangle

La valeur propre obtenue est $a = -1$ . Le vecteur propre normé de $\hat{\sigma}_z$ associé à $-1$ est $|\psi_-\rangle = |1\rangle$ (vérifié par $\hat{\sigma}_z|1\rangle = -|1\rangle$ ).

Étape 2 —

Appliquer le postulat de la mesure (cas non dégénéré) : l'état du système juste après la mesure est

|\psi_n\rangle

, indépendamment de l'état initial

|\psi\rangle

D'après le postulat de la mesure (cas non dégénéré), l'état juste après la mesure est $|\psi_-\rangle = |1\rangle$ , quelle que soit la superposition initiale.

Étape 3 —

Vérifier la répétabilité : une deuxième mesure immédiate de

A

donnera à nouveau

a_n

avec certitude, car

\hat{A}|\psi_n\rangle = a_n|\psi_n\rangle

, soit

P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi_n\rangle|^2 = 1

Vérification de la répétabilité : si on mesure à nouveau $\hat{\sigma}_z$ immédiatement, $P(-1) = |\langle 1|1\rangle|^2 = 1$ . On obtient $-1$ avec certitude.

L'état après mesure est $|1\rangle$ .

Application guidée

Un spin-1/2 est dans l'état $|{+}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ . On mesure $\hat{\sigma}_z$ et on obtient $+1$ . Quel est l'état après mesure ? Si on mesure ensuite $\hat{\sigma}_x$ , que peut-on dire ?

Application autonome 1

Un système à trois niveaux est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|1\rangle + |2\rangle + |3\rangle)$ . On mesure $\hat{A}$ (valeurs propres $0, 1, 2$ non dégénérées) et on obtient $a_2 = 1$ . Quel est l'état après mesure ? Calculer la probabilité d'obtenir $a_3 = 2$ lors d'une mesure ultérieure.

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En projetant l'état ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ sur le vecteur propre ∣ψn⟩|\psi_n\rangle∣ψn​⟩ associé à la valeur mesurée : l'état après mesure est ∣ψn⟩|\psi_n\rangle∣ψn​⟩ (à une phase globale près)

Pour comprendre, fais des exercices !

En projetant l'état $|\psi\rangle$ sur le vecteur propre $|\psi_n\rangle$ associé à la valeur mesurée : l'état après mesure est $|\psi_n\rangle$ (à une phase globale près)