Comment calculer la probabilité $P(a_n)$ de mesurer une valeur propre non dégénérée ? | MetMat

Comment calculer la probabilité $P(a_n)$ de mesurer une valeur propre non dégénérée ?

En calculant le carré du module du produit scalaire entre le vecteur propre et l'état du système : $P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi\rangle|^2$

Calculer la probabilité qu'une mesure de l'observable $\hat{A}$ donne le résultat $a_n$ (cas non dégénéré).

L'objectif

Calculer la probabilité qu'une mesure de l'observable $\hat{A}$ donne le résultat $a_n$ (cas non dégénéré).

Le principe

La méthode

1
Décomposer l'état $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$ dans la base propre de $\hat{A}$ et identifier $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ .
2
Calculer le produit scalaire $\langle\psi_n|\psi\rangle$ entre le vecteur propre $|\psi_n\rangle$ et l'état $|\psi\rangle$ .
3
Prendre le carré du module : $P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi\rangle|^2 = |c_n|^2$ . Vérifier que $\sum_n P(a_n) = 1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = |{+}\rangle = |0\rangle$ . On mesure $\hat{\sigma}_z$ dont les vecteurs propres sont $|0\rangle$ (valeur propre $+1$ ) et $|1\rangle$ (valeur propre $-1$ ). Calculer $P(+1)$ et $P(-1)$ .

Étape 1 —

Décomposer l'état

|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle

dans la base propre de

\hat{A}

et identifier

c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle

L'état $|\psi\rangle = |0\rangle$ est déjà exprimé dans la base propre $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ de $\hat{\sigma}_z$ , avec $c_0 = \langle 0|0\rangle = 1$ et $c_1 = \langle 1|0\rangle = 0$ .

Étape 2 —

Calculer le produit scalaire

\langle\psi_n|\psi\rangle

entre le vecteur propre

|\psi_n\rangle

et l'état

|\psi\rangle

Calculer les produits scalaires : $\langle 0|\psi\rangle = 1$ et $\langle 1|\psi\rangle = 0$ .

Étape 3 —

Prendre le carré du module :

P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi\rangle|^2 = |c_n|^2

. Vérifier que

\sum_n P(a_n) = 1

On obtient $P(+1) = |1|^2 = 1$ et $P(-1) = |0|^2 = 0$ . Vérification : $1 + 0 = 1$ . La mesure donnera $+1$ avec certitude, ce qui est cohérent car $|0\rangle$ est un état propre de $\hat{\sigma}_z$ .

$P(+1) = 1$ , $P(-1) = 0$ .

Application guidée

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ avec $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ . On mesure $\hat{\sigma}_x$ dont les vecteurs propres sont $|{+}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ et $|{-}\rangle_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$ . Calculer $P(+1)$ et $P(-1)$ .

Application autonome 1

Un système à trois niveaux a pour états propres de $\hat{A}$ les vecteurs $|1\rangle$ , $|2\rangle$ , $|3\rangle$ avec valeurs propres $a_1=0$ , $a_2=1$ , $a_3=2$ . Le système est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}|1\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}}|2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|3\rangle$ . Calculer les probabilités $P(a_1)$ , $P(a_2)$ , $P(a_3)$ .

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En calculant le carré du module du produit scalaire entre le vecteur propre et l'état du système : P(an)=∣⟨ψn∣ψ⟩∣2P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi\rangle|^2P(an​)=∣⟨ψn​∣ψ⟩∣2

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant le carré du module du produit scalaire entre le vecteur propre et l'état du système : $P(a_n) = |\langle\psi_n|\psi\rangle|^2$