Comment calculer la probabilité de mesure d'un état de polarisation dans une base arbitraire ? | MetMat

Comment calculer la probabilité de mesure d'un état de polarisation dans une base arbitraire ?

En établissant la correspondance entre probabilité quantique et loi de Malus classique

L'objectif

Vérifier que $P(|u\rangle) = \cos^2\theta$ pour $|\psi\rangle$ état de polarisation linéaire faisant un angle $\theta$ avec la direction $|u\rangle$ , retrouvant ainsi la loi de Malus classique.

Le principe

Le principe de correspondance garantit que les probabilités quantiques reproduisent la loi de Malus classique pour des états de polarisation linéaire. Le produit scalaire $\langle u|\psi\rangle$ entre deux états linéaires est le cosinus de l'angle entre leurs directions de polarisation.

La méthode

1
Paramétrer $|\psi\rangle = \sin(\varphi_u + \theta)|x\rangle + \cos(\varphi_u + \theta)|y\rangle$ et $|u\rangle = \sin\varphi_u|x\rangle + \cos\varphi_u|y\rangle$ , où $\theta$ est l'angle entre $|\psi\rangle$ et $|u\rangle$ .
2
Calculer $\langle u|\psi\rangle = \sin\varphi_u\sin(\varphi_u+\theta) + \cos\varphi_u\cos(\varphi_u+\theta) = \cos\bigl((\varphi_u+\theta) - \varphi_u\bigr) = \cos\theta$ .
3
Conclure $P(|u\rangle) = |\cos\theta|^2 = \cos^2\theta$ , en accord avec la loi de Malus $I_{\mathrm{out}} = I_{\mathrm{in}}\cos^2\theta$ (le photon unique a une probabilité $\cos^2\theta$ d'être transmis).

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Application guidée 1

Un photon est polarisé horizontalement $|\psi\rangle = |x\rangle$ et on mesure avec un polariseur orienté à $\theta = 0°$ . Calculer $P(|u_{0°}\rangle) = P(|x\rangle)$ et vérifier la loi de Malus.

Application guidée 2

Un photon est polarisé horizontalement $|x\rangle$ et on mesure avec un polariseur à $\theta = 45°$ . Calculer $P$ et vérifier la loi de Malus.

Application autonome 1

Application autonome 2

Un photon polarisé horizontalement $|x\rangle$ passe par un polariseur à $\theta = 90°$ (vertical $|y\rangle$ ). Calculer $P$ et commenter.

Application autonome 3

Un photon est polarisé à $45°$ ( $|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x\rangle + |y\rangle)$ ). Le polariseur est à $\theta = 60°$ de cet état. Calculer $P$ .

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