Comment calculer la probabilité de mesure d'un état de polarisation dans une base arbitraire ? | MetMat

Comment calculer la probabilité de mesure d'un état de polarisation dans une base arbitraire ?

En appliquant le postulat de Born dans la base standard $(|x\rangle, |y\rangle)$

L'objectif

Le principe

La méthode

1
Écrire le ket $|\psi\rangle = \alpha|x\rangle + \beta|y\rangle$ en identifiant les amplitudes $\alpha$ et $\beta$ (avec $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ ).
2
Calculer les produits scalaires : $\langle x|\psi\rangle = \alpha$ et $\langle y|\psi\rangle = \beta$ par orthonormalité de la base $(\langle x|x\rangle = \langle y|y\rangle = 1$ , $\langle x|y\rangle = 0)$ .
3
Obtenir $P(|x\rangle) = |\alpha|^2$ et $P(|y\rangle) = |\beta|^2$ , puis vérifier $P(|x\rangle) + P(|y\rangle) = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ .

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Exercice d'exemple

L'état de polarisation est $|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle + \dfrac{1}{\sqrt{2}}|y\rangle$ (polarisation linéaire à $45°$ ). Calculer $P(|x\rangle)$ et $P(|y\rangle)$ .

Étape 1 —

Écrire le ket

|\psi\rangle = \alpha|x\rangle + \beta|y\rangle

en identifiant les amplitudes

\alpha

\beta

(avec

|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1

On identifie $\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\beta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; vérification : $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ . ✓

Étape 2 —

Calculer les produits scalaires :

\langle x|\psi\rangle = \alpha

\langle y|\psi\rangle = \beta

par orthonormalité de la base

(\langle x|x\rangle = \langle y|y\rangle = 1

\langle x|y\rangle = 0)

$\langle x|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\langle y|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

Étape 3 —

Obtenir

P(|x\rangle) = |\alpha|^2

P(|y\rangle) = |\beta|^2

, puis vérifier

P(|x\rangle) + P(|y\rangle) = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1

$P(|x\rangle) = \left|\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \dfrac{1}{2}$ et $P(|y\rangle) = \dfrac{1}{2}$ ; somme = $1$ . ✓

$P(|x\rangle) = P(|y\rangle) = \dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

L'état est $|+\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle + \dfrac{i}{\sqrt{2}}|y\rangle$ (polarisation circulaire droite). Calculer $P(|x\rangle)$ et $P(|y\rangle)$ .

Application autonome 1

L'état est $|\psi\rangle = \dfrac{\sqrt{3}}{2}|x\rangle + \dfrac{1}{2}|y\rangle$ (polarisation linéaire à $30°$ de $|y\rangle$ ). Calculer $P(|x\rangle)$ et $P(|y\rangle)$ .

Application autonome 2

L'état est $|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{5}}|x\rangle + \dfrac{2}{\sqrt{5}}|y\rangle$ . Calculer $P(|x\rangle)$ et $P(|y\rangle)$ .

Application autonome 3

L'état est $|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle - \dfrac{i}{\sqrt{2}}|y\rangle$ (polarisation circulaire gauche $|-\rangle$ ). Calculer $P(|x\rangle)$ et $P(|y\rangle)$ .

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En appliquant le postulat de Born dans la base standard (∣x⟩,∣y⟩)(|x\rangle, |y\rangle)(∣x⟩,∣y⟩)

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En appliquant le postulat de Born dans la base standard $(|x\rangle, |y\rangle)$