Comment écrire et normaliser l'état de polarisation d'un photon unique en notation de Dirac ? | MetMat

Comment écrire et normaliser l'état de polarisation d'un photon unique en notation de Dirac ?

En imposant la condition de normalisation pour réduire le nombre de paramètres

Montrer que $|\psi\rangle = \alpha|x\rangle + \beta|y\rangle$ est décrit par exactement 2 paramètres réels indépendants ($\theta$ et $\varphi$) malgré $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$.

L'objectif

Montrer que $|\psi\rangle = \alpha|x\rangle + \beta|y\rangle$ est décrit par exactement 2 paramètres réels indépendants ( $\theta$ et $\varphi$ ) malgré $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ .

Le principe

La contrainte de normalisation $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ et l'arbitraire d'une phase globale $e^{i\gamma}$ non observable réduisent les 4 paramètres réels de $\alpha, \beta \in \mathbb{C}^2$ à 2 paramètres réels indépendants, que l'on peut choisir comme $\theta \in [0, \pi/2]$ et $\varphi \in [0, 2\pi)$ .

La méthode

1
Je compte les paramètres réels : $\alpha = \mathrm{Re}(\alpha) + i\,\mathrm{Im}(\alpha)$ et $\beta = \mathrm{Re}(\beta) + i\,\mathrm{Im}(\beta)$ donnent 4 paramètres réels.
2
J'applique la contrainte de normalisation $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ : une équation réelle, ce qui réduit à 3 paramètres réels indépendants.
3
J'élimine la phase globale : $|\psi\rangle$ et $e^{i\gamma}|\psi\rangle$ représentent le même état physique (pas d'observable qui les distingue), ce qui élimine encore un paramètre réel. Il reste 2 paramètres.
4
Je paramètre : en posant $\alpha = \sin\theta$ (réel, $\theta \in [0,\pi/2]$ ) et $\beta = e^{i\varphi}\cos\theta$ ( $\varphi \in [0,2\pi)$ ), j'obtiens la paramétrisation canonique $|\psi\rangle = \sin\theta\,|x\rangle + e^{i\varphi}\cos\theta\,|y\rangle$ .

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Application guidée 1

Donné $\alpha = \dfrac{1+i}{2}$ et $\beta = \dfrac{1-i}{2}$ . Vérifier la normalisation et trouver $\theta$ , $\varphi$ .

Application guidée 2

Donné $\alpha = 1$ et $\beta = 0$ . Trouver $\theta$ , $\varphi$ et l'état physique.

Application autonome 1

Donné $\alpha = 0$ et $\beta = e^{i\pi/3}$ . Trouver $\theta$ , $\varphi$ et l'état physique.

Application autonome 2

Donné $\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\beta = \dfrac{i}{2}$ . Trouver $\theta$ , $\varphi$ et identifier l'état.

Application autonome 3

Donné $\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\beta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ . Trouver $\theta$ , $\varphi$ et identifier l'état.

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