Comment appliquer une matrice de Jones à un état de polarisation et calculer l'intensité transmise ? | MetMat

Comment appliquer une matrice de Jones à un état de polarisation et calculer l'intensité transmise ?

En appliquant la matrice de Jones d'une lame à retard

Calculer $\mathbf{E}_{\text{out}} = \varphi_R \cdot \mathbf{E}_{\text{in}}$ avec $\varphi_R = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2}, e^{+i\delta/2})$ pour une lame de retard $\delta$ , et identifier le nouvel état de polarisation.

L'objectif

Le principe

Une lame à retard introduit un déphasage $\delta$ entre les deux composantes de polarisation sans modifier leurs amplitudes. Elle est décrite par une matrice diagonale unitaire ; les cas particuliers $\delta = \pi/2$ (quart d'onde) et $\delta = \pi$ (demi-onde) sont les plus courants.

La méthode

1
J'identifie le retard $\delta$ de la lame : $\delta = \pi/2$ pour une lame quart d'onde (QWP), $\delta = \pi$ pour une lame demi-onde (HWP).
2
J'écris la matrice de la lame à retard dans la base $(x, y)$ : $\varphi_R = \begin{pmatrix} e^{-i\delta/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\delta/2} \end{pmatrix}$ .
3
Je calcule $\mathbf{E}_{\text{out}} = \varphi_R \cdot \mathbf{E}_{\text{in}}$ par multiplication matricielle : $\mathbf{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix} e^{-i\delta/2} A \\ e^{+i\delta/2} B \end{pmatrix}$ .
4
J'identifie le nouvel état de polarisation de $\mathbf{E}_{\text{out}}$ en examinant le rapport des composantes (amplitudes et déphasage relatif).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une onde polarisée linéairement à $45°$ , $\mathbf{E}_{\text{in}} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , traverse une lame quart d'onde ( $\delta = \pi/2$ ). Trouver $\mathbf{E}_{\text{out}}$ .

Étape 1 —

J'identifie le retard

\delta

de la lame :

\delta = \pi/2

pour une lame quart d'onde (QWP),

\delta = \pi

pour une lame demi-onde (HWP).

Le retard est $\delta = \pi/2$ (lame quart d'onde).

Étape 2 —

J'écris la matrice de la lame à retard dans la base

(x, y)

\varphi_R = \begin{pmatrix} e^{-i\delta/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\delta/2} \end{pmatrix}

La matrice est $\varphi_R = \begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{+i\pi/4} \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\mathbf{E}_{\text{out}} = \varphi_R \cdot \mathbf{E}_{\text{in}}

par multiplication matricielle :

\mathbf{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix} e^{-i\delta/2} A \\ e^{+i\delta/2} B \end{pmatrix}

Je calcule $\mathbf{E}_{\text{out}} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} \\ e^{+i\pi/4} \end{pmatrix} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}e^{-i\pi/4}\begin{pmatrix} 1 \\ e^{+i\pi/2} \end{pmatrix} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}e^{-i\pi/4}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

J'identifie le nouvel état de polarisation de

\mathbf{E}_{\text{out}}

en examinant le rapport des composantes (amplitudes et déphasage relatif).

Le facteur de phase globale $e^{-i\pi/4}$ est sans effet physique. Le rapport des composantes est $1 : i$ , avec $|$ amplitudes $|$ égales et déphasage $+\pi/2$ : c'est une polarisation circulaire gauche.

$\mathbf{E}_{\text{out}} \propto \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ : polarisation circulaire gauche.

Application guidée

Une onde polarisée linéairement selon $x$ , $\mathbf{E}_{\text{in}} = E_0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , traverse une lame demi-onde ( $\delta = \pi$ ). Trouver $\mathbf{E}_{\text{out}}$ .

Application autonome 1

Une onde polarisée circulairement gauche, $\mathbf{E}_{\text{in}} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ , traverse une lame quart d'onde ( $\delta = \pi/2$ ). Trouver $\mathbf{E}_{\text{out}}$ .

Application autonome 2

Une onde polarisée à $45°$ , $\mathbf{E}_{\text{in}} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , traverse une lame demi-onde ( $\delta = \pi$ ). Trouver $\mathbf{E}_{\text{out}}$ .

Application autonome 3

Une onde polarisée circulairement droite, $\mathbf{E}_{\text{in}} = \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ , traverse une lame quart d'onde ( $\delta = \pi/2$ ). Trouver $\mathbf{E}_{\text{out}}$ .

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