Comment appliquer un opérateur d'évolution unitaire à un ket de polarisation ? | MetMat

Comment appliquer un opérateur d'évolution unitaire à un ket de polarisation ?

En vérifiant l'unitarité d'un opérateur $U$ par le calcul de $U^\dagger U$

Vérifier $U^\dagger U = \mathbb{I}_2$ pour un opérateur $U$ donné, garantissant la conservation de la probabilité totale lors de l'évolution quantique.

L'objectif

Vérifier $U^\dagger U = \mathbb{I}_2$ pour un opérateur $U$ donné, garantissant la conservation de la probabilité totale lors de l'évolution quantique.

Le principe

Un opérateur est unitaire si et seulement si $U^\dagger U = U U^\dagger = \mathbb{I}_2$ , ce qui garantit la conservation de la norme $\|U|\psi\rangle\| = \||\psi\rangle\| = 1$ et donc la conservation de la probabilité totale.

La méthode

1
Calculer $U^\dagger$ : transposer la matrice $U$ puis prendre le complexe conjugué de chaque élément ( $U^\dagger = (U^T)^*$ , soit $(U^\dagger)_{ij} = U_{ji}^*$ ).
2
Effectuer le produit matriciel $U^\dagger U$ (attention à l'ordre : $U^\dagger$ à gauche, $U$ à droite).
3
Vérifier que $U^\dagger U = \mathbb{I}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
4
Conclure : la norme est conservée, $\|U|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|\mathbb{I}|\psi\rangle = 1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Vérifier l'unitarité de la lame quart d'onde $U_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Calculer

U^\dagger

: transposer la matrice

U

puis prendre le complexe conjugué de chaque élément (

U^\dagger = (U^T)^*

, soit

(U^\dagger)_{ij} = U_{ji}^*

$U_{\lambda/4}^\dagger = \begin{pmatrix} e^{i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{pmatrix}$ (conjuguée de la diagonale).

Étape 2 —

Effectuer le produit matriciel

U^\dagger U

(attention à l'ordre :

U^\dagger

à gauche,

U

à droite).

$U_{\lambda/4}^\dagger U_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} e^{i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{i\pi/4}e^{-i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4}e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Vérifier que

U^\dagger U = \mathbb{I}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

$= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbb{I}_2$ . ✓

Étape 4 —

Conclure : la norme est conservée,

\|U|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|\mathbb{I}|\psi\rangle = 1

$U_{\lambda/4}$ est unitaire : la norme de tout ket est conservée lors de la traversée d'une lame quart d'onde.

$U_{\lambda/4}^\dagger U_{\lambda/4} = \mathbb{I}_2$ : unitarité vérifiée.

Application guidée

Vérifier l'unitarité de la lame demi-onde $U_{\lambda/2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (réflexion des polarisations).

Application autonome 1

Vérifier l'unitarité de la matrice de rotation $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Vérifier l'unitarité du produit $U = U_{\lambda/4}U_{\lambda/2}$ avec $U_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$ et $U_{\lambda/2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

(Contre-exemple) La matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est-elle unitaire ?

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant l'unitarité d'un opérateur UUU par le calcul de U†UU^\dagger UU†U

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant l'unitarité d'un opérateur $U$ par le calcul de $U^\dagger U$