Comment appliquer un opérateur d'évolution unitaire à un ket de polarisation ? | MetMat

Comment appliquer un opérateur d'évolution unitaire à un ket de polarisation ?

En appliquant l'opérateur de lame à retard quantique $U = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2}, e^{+i\delta/2})$

Calculer $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = U_{\mathrm{lame}}|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ avec $U_{\mathrm{lame}} = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2}, e^{+i\delta/2})$, identifier l'état résultant et calculer ses probabilités de mesure.

L'objectif

Calculer $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = U_{\mathrm{lame}}|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ avec $U_{\mathrm{lame}} = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2}, e^{+i\delta/2})$ , identifier l'état résultant et calculer ses probabilités de mesure.

Le principe

La méthode

1
Écrire $U_{\mathrm{lame}} = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2},\, e^{+i\delta/2})$ en précisant $\delta$ : $\delta = \pi/2$ (lame quart d'onde), $\delta = \pi$ (lame demi-onde), ou valeur quelconque.
2
Appliquer à $|\psi_{\mathrm{in}}\rangle = \alpha|x\rangle + \beta|y\rangle$ : $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = e^{-i\delta/2}\alpha|x\rangle + e^{+i\delta/2}\beta|y\rangle$ .
3
Identifier le nouvel état de polarisation en comparant le rapport de phase $\arg(\beta/\alpha) + \delta$ : phase relative $0$ ou $\pi$ → linéaire, phase relative $\pm\pi/2$ avec $|\alpha| = |\beta|$ → circulaire, sinon → elliptique.
4
Calculer les probabilités de mesure dans la base standard $P(|x\rangle) = |e^{-i\delta/2}\alpha|^2 = |\alpha|^2$ et $P(|y\rangle) = |\beta|^2$ (la lame ne modifie pas les probabilités dans la base propre).

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Application guidée 1

Lame quart d'onde ( $\delta = \pi/2$ ) appliquée à $|45°\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x\rangle + |y\rangle)$ . Identifier $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle$ .

Application guidée 2

Lame quart d'onde ( $\delta = \pi/2$ ) appliquée à $|+\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x\rangle + i|y\rangle)$ . Identifier $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle$ .

Application autonome 1

Lame demi-onde ( $\delta = \pi$ ) appliquée à $|45°\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x\rangle + |y\rangle)$ . Identifier $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle$ .

Application autonome 2

Lame quart d'onde ( $\delta = \pi/2$ ) appliquée à $|x\rangle$ . Identifier $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle$ .

Application autonome 3

Lame à retard générale ( $\delta$ quelconque) appliquée à $|\psi\rangle = \cos\theta|x\rangle + \sin\theta\,e^{i\varphi}|y\rangle$ . Calculer $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle$ et ses probabilités de mesure.

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En appliquant l'opérateur de lame à retard quantique U=diag(e−iδ/2,e+iδ/2)U = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2}, e^{+i\delta/2})U=diag(e−iδ/2,e+iδ/2)

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En appliquant l'opérateur de lame à retard quantique $U = \mathrm{diag}(e^{-i\delta/2}, e^{+i\delta/2})$