Comment appliquer un opérateur d'évolution unitaire à un ket de polarisation ? | MetMat

Comment appliquer un opérateur d'évolution unitaire à un ket de polarisation ?

En calculant $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = U|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ par multiplication matricielle dans la base $(|x\rangle, |y\rangle)$

Calculer $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = U|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ connaissant la matrice $2\times 2$ de $U$ dans la base $(|x\rangle, |y\rangle)$ et les composantes $\alpha, \beta$ de $|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$.

L'objectif

Le principe

Tout opérateur d'évolution unitaire sur l'espace de polarisation $\mathbb{C}^2$ est représenté par une matrice $2\times 2$ unitaire. L'action sur un ket se calcule par multiplication matrice-vecteur.

La méthode

1
Écrire $|\psi_{\mathrm{in}}\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ dans la base $(|x\rangle, |y\rangle)$ et la matrice $U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix}$ .
2
Calculer $U|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ par produit matrice-vecteur : $\begin{pmatrix} \alpha' \\ \beta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_{11}\alpha + U_{12}\beta \\ U_{21}\alpha + U_{22}\beta \end{pmatrix}$ .
3
Écrire $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = \alpha'|x\rangle + \beta'|y\rangle$ et identifier l'état résultant (linéaire, circulaire, elliptique…) en vérifiant $|\alpha'|^2 + |\beta'|^2 = 1$ .

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Application guidée 1

Une lame quart d'onde (axe rapide selon $|x\rangle$ ) a la matrice $U_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} e^{i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{pmatrix}$ . Appliquer $U_{\lambda/4}$ à $|\psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(|x\rangle + |y\rangle)$ .

Application guidée 2

Une lame demi-onde (axe rapide selon $|x\rangle$ ) a la matrice $U_{\lambda/2} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$ (à une phase globale). Appliquer à $|y\rangle$ .

Application autonome 1

L'opérateur de rotation de $\pi/2$ est $R(\pi/2) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Appliquer à $|x\rangle$ .

Application autonome 2

Appliquer $U_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} e^{i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{pmatrix}$ à l'état circulaire $|+\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

L'opérateur demi-onde orienté à $22{,}5°$ est $U = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Appliquer à $|x\rangle$ .

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En calculant ∣ψout⟩=U∣ψin⟩|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = U|\psi_{\mathrm{in}}\rangle∣ψout​⟩=U∣ψin​⟩ par multiplication matricielle dans la base (∣x⟩,∣y⟩)(|x\rangle, |y\rangle)(∣x⟩,∣y⟩)

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En calculant $|\psi_{\mathrm{out}}\rangle = U|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$ par multiplication matricielle dans la base $(|x\rangle, |y\rangle)$