Comment écrire l'onde de de Broglie d'une particule libre et obtenir sa relation de dispersion ? | MetMat

Comment écrire l'onde de de Broglie d'une particule libre et obtenir sa relation de dispersion ?

En dérivant la relation de dispersion d'une particule massive

Obtenir la relation de dispersion $\omega = \hbar k^2/(2m)$ pour une particule libre massive, et calculer la vitesse de phase $v_\varphi = \hbar k/(2m) = v/2$ (différente de la vitesse classique $v$).

L'objectif

Le principe

Pour une particule libre massive non relativiste, l'énergie cinétique $E = p^2/(2m) = (\hbar k)^2/(2m) = \hbar^2k^2/(2m)$ implique, via $\omega = E/\hbar$ , la relation de dispersion $\omega = \hbar k^2/(2m)$ . Cette relation quadratique en $k$ est fondamentalement différente de la relation linéaire $\omega = ck$ du photon.

La méthode

1
Écrire l'énergie cinétique en fonction de $k$ : $E = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{(\hbar k)^2}{2m} = \dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}$ .
2
Appliquer $\omega = E/\hbar$ pour obtenir la relation de dispersion : $\omega = \dfrac{\hbar k^2}{2m}$ .
3
Calculer la vitesse de phase $v_\varphi = \omega/k = \hbar k/(2m) = p/(2m) = v/2$ (moitié de la vitesse classique) et noter que la vitesse de groupe $v_g = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k = \hbar k/m = p/m = v$ est bien la vitesse classique de la particule.

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Application guidée 1

Un électron libre a un vecteur d'onde $k = 5{,}0\times10^{10}\,\text{m}^{-1}$ . Calculer $\omega$ , $v_\varphi$ et $v_g$ ( $m_e = 9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}$ ).

Application guidée 2

Montrer explicitement que la relation de dispersion d'un électron ( $\omega = \hbar k^2/(2m_e)$ ) est différente de celle d'un photon ( $\omega = ck$ ) en traçant le comportement qualitatif et en comparant les vitesses de phase.

Application autonome 1

Un proton ( $m_p = 1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}$ ) a $k = 10^{13}\,\text{m}^{-1}$ . Calculer $\omega$ , $v_\varphi$ , $v_g$ et retrouver sa vitesse classique.

Application autonome 2

Montrer que pour une particule libre massive, la vitesse de groupe $v_g = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k$ est égale à la vitesse classique $v = p/m$ .

Application autonome 3

Un atome d'hélium ( $m_{\text{He}} = 6{,}646\times10^{-27}\,\text{kg}$ ) est refroidi à $T = 1\,\mu\text{K}$ ; son énergie cinétique est $E_k = \frac{3}{2}k_BT$ avec $k_B = 1{,}381\times10^{-23}\,\text{J/K}$ . Calculer $k$ , $\omega$ et $\lambda$ de son onde de de Broglie.

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