Comment écrire l'onde de de Broglie d'une particule libre et obtenir sa relation de dispersion ? | MetMat

Comment écrire l'onde de de Broglie d'une particule libre et obtenir sa relation de dispersion ?

En construisant la fonction d'onde à partir des relations de de Broglie

Écrire la fonction d'onde d'une particule libre $\psi(\vec{r},t) = \psi_0\exp\!\left(i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)\right)$ avec $\vec{k} = \vec{p}/\hbar$ et $\omega = E/\hbar$ , à partir de son impulsion $\vec{p}$ et de son énergie $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un électron ( $m_e = 9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}$ ) se déplace selon $+x$ avec $v = 2{,}0\times10^6\,\text{m/s}$ . Écrire sa fonction d'onde de de Broglie.

L'objectif

Le principe

L'onde de de Broglie associe à toute particule libre d'impulsion $\vec{p}$ et d'énergie $E$ une onde plane complexe. Le vecteur d'onde $\vec{k} = \vec{p}/\hbar$ porte la direction et le module de l'impulsion ; la pulsation $\omega = E/\hbar$ encode l'énergie totale.

La méthode

1
Calculer le vecteur d'onde : $\vec{k} = \vec{p}/\hbar$ , de norme $k = p/\hbar$ , orienté dans la direction de $\vec{p}$ .
2
Calculer la pulsation : $\omega = E/\hbar$ (avec $E = p^2/(2m)$ pour une particule massive non relativiste).
3
Écrire la fonction d'onde : $\psi(\vec{r},t) = \psi_0\exp\!\left(i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)\right)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Un électron ( $m_e = 9{,}109\times10^{-31}\,\text{kg}$ ) se déplace selon $+x$ avec $v = 2{,}0\times10^6\,\text{m/s}$ . Écrire sa fonction d'onde de de Broglie.

Étape 1 —

Calculer le vecteur d'onde :

\vec{k} = \vec{p}/\hbar

, de norme

k = p/\hbar

, orienté dans la direction de

\vec{p}

$p = m_ev = 9{,}109\times10^{-31}\times2{,}0\times10^6 = 1{,}822\times10^{-24}\,\text{kg·m/s}$ ; $k = p/\hbar = 1{,}822\times10^{-24}/1{,}055\times10^{-34} = 1{,}727\times10^{10}\,\text{m}^{-1}$ , selon $\vec{e}_x$ .

Étape 2 —

Calculer la pulsation :

\omega = E/\hbar

(avec

E = p^2/(2m)

pour une particule massive non relativiste).

$E = p^2/(2m_e) = (1{,}822\times10^{-24})^2/(2\times9{,}109\times10^{-31}) = 3{,}32\times10^{-48}/1{,}822\times10^{-30} \approx 1{,}822\times10^{-18}\,\text{J}$ ; recalcul : $E = \frac{1}{2}m_ev^2 = \frac{1}{2}\times9{,}109\times10^{-31}\times(2{,}0\times10^6)^2 = 1{,}822\times10^{-18}\,\text{J}$ ; $\omega = E/\hbar = 1{,}822\times10^{-18}/1{,}055\times10^{-34} = 1{,}727\times10^{16}\,\text{rad/s}$ .

Étape 3 —

Écrire la fonction d'onde :

\psi(\vec{r},t) = \psi_0\exp\!\left(i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)\right)

$\psi(x,t) = \psi_0\exp\!\left(i(1{,}727\times10^{10}\,x - 1{,}727\times10^{16}\,t)\right)$ .

$\psi(x,t) = \psi_0\exp\!\left(i\left(\dfrac{m_e v}{\hbar}\,x - \dfrac{m_e v^2}{2\hbar}\,t\right)\right)$ avec $k \approx 1{,}73\times10^{10}\,\text{m}^{-1}$ et $\omega \approx 1{,}73\times10^{16}\,\text{rad/s}$ .

Application guidée

Un proton ( $m_p = 1{,}673\times10^{-27}\,\text{kg}$ ) se déplace selon $\vec{e}_z$ avec une énergie cinétique $E_k = 10\,\text{keV}$ . Écrire sa fonction d'onde.

Application autonome 1

Une particule de masse $m$ se propage dans la direction $\vec{e}_x + \vec{e}_y$ (à $45°$ ) avec un module d'impulsion $p_0$ . Écrire la fonction d'onde.

Application autonome 2

Un neutron thermique ( $m_n = 1{,}675\times10^{-27}\,\text{kg}$ ) a une vitesse $v = 2200\,\text{m/s}$ selon $+x$ . Écrire sa fonction d'onde et donner $\lambda$ .

Application autonome 3

Un électron a une énergie cinétique $E_k = 1\,\text{eV}$ et se propage selon $+x$ . Écrire sa fonction d'onde et vérifier que $\lambda = 1{,}23\,\text{nm}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices