En adaptant la formule avec la longueur d'onde de de Broglie pour une particule

Calculer l'interfrange pour des particules massives en substituant $\lambda_{dB} = h/p$ dans $i = \lambda D/a$.

L'objectif

Calculer l'interfrange pour des particules massives en substituant $\lambda_{dB} = h/p$ dans $i = \lambda D/a$ .

Le principe

Les particules massives se comportent comme des ondes avec la longueur d'onde de de Broglie $\lambda_{dB} = h/p$ , où $h = 6{,}626 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$ est la constante de Planck et $p = mv$ l'impulsion. L'interfrange est alors $i = \dfrac{h D}{p\,a} = \dfrac{h D}{m v\, a}$ .

La méthode

1
Je calcule l'impulsion de la particule : $p = mv$ si la vitesse $v$ est connue, ou $p = \sqrt{2mE_c}$ si l'énergie cinétique $E_c$ est donnée (en vérifiant que $v \ll c$ pour le traitement non-relativiste).
2
Je calcule la longueur d'onde de de Broglie : $\lambda_{dB} = \dfrac{h}{p}$ , avec $h = 6{,}626 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$ .
3
J'applique la formule de l'interfrange en substituant $\lambda_{dB}$ : $i = \dfrac{\lambda_{dB}\, D}{a} = \dfrac{h\, D}{p\, a}$ .
4
Je compare avec l'ordre de grandeur pour la lumière visible ( $\lambda \sim 400$ – $700\,\text{nm}$ ) : $\lambda_{dB}$ est en général bien plus petite pour des particules macroscopiques, ce qui rend les interférences inobservables sans fentes nanométriques.

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Application guidée 1

Des électrons sont accélérés par une tension $U = 50\,\text{keV}$ . Calculer $\lambda_{dB}$ , puis l'interfrange pour $a = 0{,}1\,\mu\text{m}$ et $D = 0{,}5\,\text{m}$ . (Traitement non-relativiste, $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}\,\text{kg}$ , $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ )

Application guidée 2

Des neutrons thermiques ont une énergie cinétique $E_c = k_B T$ avec $T = 300\,\text{K}$ ( $k_B = 1{,}38 \times 10^{-23}\,\text{J/K}$ , $m_n = 1{,}675 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ ). Calculer $\lambda_{dB}$ et l'interfrange pour $a = 50\,\mu\text{m}$ , $D = 2\,\text{m}$ .

Application autonome 1

Des atomes d'hélium-4 refroidis ont une vitesse $v = 20\,\text{m/s}$ ( $m_{\text{He}} = 4 \times 1{,}66 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ ). Calculer $\lambda_{dB}$ et l'interfrange pour $a = 8\,\mu\text{m}$ , $D = 1\,\text{m}$ .

Application autonome 2

Un électron a une énergie cinétique $E_c = 100\,\text{eV}$ . Calculer $\lambda_{dB}$ et l'interfrange pour $a = 1\,\mu\text{m}$ , $D = 0{,}3\,\text{m}$ .

Application autonome 3

Des molécules de C₆₀ (fullerène, $m = 1{,}2 \times 10^{-24}\,\text{kg}$ ) ont une vitesse $v = 100\,\text{m/s}$ . Calculer $\lambda_{dB}$ et vérifier la possibilité d'interférences pour $a = 50\,\text{nm}$ , $D = 1{,}2\,\text{m}$ .

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