Comment montrer qu'une équation admet une unique solution dans un espace métrique complet, et comment la calculer ?
Approfondissement — Montrer l'existence et l'unicité du point fixe de en exploitant le fait qu'une itérée est contractante, même quand elle-même ne l'est pas.
Approfondissement — Montrer l'existence et l'unicité du point fixe de en exploitant le fait qu'une itérée est contractante, même quand elle-même ne l'est pas.
Si est complet et si est contractante pour un certain , alors admet un unique point fixe par le théorème de Banach. Or est aussi un point fixe de (car ), et par unicité : est l'unique point fixe de .
(Exercice 28(c) du poly) Soit un espace métrique complet non vide et continue. On suppose qu'il existe tel que est contractante. Montrer que admet un unique point fixe.
est complet non vide, est continue, donc est aussi continue. Par hypothèse est complet.
est contractante de rapport , donc par le théorème de Banach, admet un unique point fixe : .
Montrons que est aussi un point fixe de : (car et commutent). Par unicité du point fixe de , on conclut .
Unicité du point fixe de : si , alors , donc par unicité du point fixe de . Ainsi est l'unique point fixe de .
Si est contractante dans un espace complet, admet un unique point fixe (qui est aussi l'unique point fixe de ).
Soit définie par . Montrer que a un unique point fixe en trouvant tel que est contractante.
Soit défini par . Montrer que est contractante pour assez grand et en déduire l'unique point fixe de .
Soit , . Montrer que est contractante sur et trouver l'unique point fixe.
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