Comment montrer qu'une famille de fonctions est dense dans $C(X;\mathbb{K})$ pour la norme uniforme ? | MetMat

Comment montrer qu'une famille de fonctions est dense dans $C(X;\mathbb{K})$ pour la norme uniforme ?

En vérifiant que $H$ est une sous-algèbre séparante, contenant les constantes et auto-conjuguée (théorème de Stone-Weierstrass complexe)

Montrer qu'une sous-algèbre $H \subset C(X;\mathbb{C})$ est dense dans $C(X;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ en vérifiant les quatre hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass complexe.

L'objectif

Montrer qu'une sous-algèbre $H \subset C(X;\mathbb{C})$ est dense dans $C(X;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ en vérifiant les quatre hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass complexe.

Le principe

Le théorème de Stone-Weierstrass complexe (Thm 3.2.4) affirme : si $(X,d)$ est compact et si $H \subset C(X;\mathbb{C})$ est une sous-algèbre, contient les constantes, est séparante et auto-conjuguée ( $f \in H \Rightarrow \bar{f} \in H$ ), alors $H$ est dense dans $C(X;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ . La preuve se ramène au cas réel en considérant $H_{\mathbb{R}} = \{f \in H : f \text{ à valeurs réelles}\}$ .

La méthode

1
Vérifier que $(X,d)$ est un espace métrique compact.
2
Vérifier que $H$ est une sous-algèbre de $C(X;\mathbb{C})$ : stable par combinaison linéaire complexe et par produit pointwise.
3
Vérifier que $H$ contient les fonctions constantes (en particulier $f \equiv 1 \in H$ ).
4
Vérifier que $H$ est séparante sur $X$ : pour tous $x \neq y$ , il existe $f \in H$ telle que $f(x) \neq f(y)$ .
5
Vérifier que $H$ est auto-conjuguée : pour toute $f \in H$ , la fonction $\bar{f} : x \mapsto \overline{f(x)}$ appartient aussi à $H$ . Conclure par le théorème de Stone-Weierstrass complexe.

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Exercice d'exemple

Montrer que le $\mathbb{C}$ -espace vectoriel engendré par les $\theta \mapsto e^{in\theta}$ pour $n \in \mathbb{Z}$ est dense dans $C(\mathbb{S}^1;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ (exemple fondamental du poly, §3.2.13).

Étape 1 —

Vérifier que

(X,d)

est un espace métrique compact.

$X = \mathbb{S}^1$ (cercle unité, fonctions $2\pi$ -périodiques continues) est un espace métrique compact.

Étape 2 —

Vérifier que

H

est une sous-algèbre de

C(X;\mathbb{C})

: stable par combinaison linéaire complexe et par produit pointwise.

On pose $H$ = sous-algèbre engendrée par $\{e_n : \theta \mapsto e^{in\theta},\, n \in \mathbb{Z}\}$ . $H$ est stable par produit ( $e^{in\theta} \cdot e^{im\theta} = e^{i(n+m)\theta} \in H$ ) et par combinaison linéaire complexe.

Étape 3 —

Vérifier que

H

contient les fonctions constantes (en particulier

f \equiv 1 \in H

La constante $1 = e^{0 \cdot i\theta} \in H$ .

Étape 4 —

Vérifier que

H

est séparante sur

X

: pour tous

x \neq y

, il existe

f \in H

telle que

f(x) \neq f(y)

$H$ est séparante : pour $\theta_1 \neq \theta_2$ dans $\mathbb{S}^1$ , $e^{i\theta_1} \neq e^{i\theta_2}$ donc $e_1 \in H$ sépare $\theta_1$ et $\theta_2$ .

Étape 5 —

Vérifier que

H

est auto-conjuguée : pour toute

f \in H

, la fonction

\bar{f} : x \mapsto \overline{f(x)}

appartient aussi à

H

. Conclure par le théorème de Stone-Weierstrass complexe.

$H$ est auto-conjuguée : $\overline{e^{in\theta}} = e^{-in\theta} \in H$ (puisque $-n \in \mathbb{Z}$ ). Par Stone-Weierstrass complexe, $H$ est dense dans $C(\mathbb{S}^1;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ .

Les polynômes trigonométriques $\sum_{|n| \leq N} c_n e^{in\theta}$ sont denses dans $C(\mathbb{S}^1;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ .

Application guidée

Montrer que les polynômes complexes $\mathbb{C}[z, \bar{z}]$ sont denses dans $C(D;\mathbb{C})$ , où $D = \{z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1\}$ est le disque unité fermé.

Application autonome 1

Est-ce que les polynômes holomorphes $\mathbb{C}[z]$ (sans $\bar{z}$ ) sont denses dans $C(\mathbb{S}^1;\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ ?

Application autonome 2

Montrer que les fonctions de la forme $\sum_{n,m \in \mathbb{Z}} a_{nm} e^{in\theta_1} e^{im\theta_2}$ sont denses dans $C(\mathbb{T}^2;\mathbb{C})$ , où $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ .

Application autonome 3

Montrer que la sous-algèbre $H$ engendrée par $z \mapsto e^{iz}$ et $z \mapsto e^{-iz}$ est dense dans $C([0, 2\pi];\mathbb{C})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ .

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En vérifiant que HHH est une sous-algèbre séparante, contenant les constantes et auto-conjuguée (théorème de Stone-Weierstrass complexe)

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En vérifiant que $H$ est une sous-algèbre séparante, contenant les constantes et auto-conjuguée (théorème de Stone-Weierstrass complexe)