Comment montrer qu'une famille de fonctions est dense dans $C(X;\mathbb{K})$ pour la norme uniforme ? | MetMat

Comment montrer qu'une famille de fonctions est dense dans $C(X;\mathbb{K})$ pour la norme uniforme ?

En vérifiant que $H$ est une sous-algèbre séparante contenant les constantes (théorème de Stone-Weierstrass réel)

Montrer qu'une sous-algèbre $H \subset C(X;\mathbb{R})$ est dense dans $C(X;\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ en vérifiant les trois hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass réel.

L'objectif

Montrer qu'une sous-algèbre $H \subset C(X;\mathbb{R})$ est dense dans $C(X;\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ en vérifiant les trois hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass réel.

Le principe

Le théorème de Stone-Weierstrass réel (Thm 3.2.3) affirme : si $(X,d)$ est compact et si $H \subset C(X;\mathbb{R})$ est une sous-algèbre (stable par combinaison linéaire et produit), contient les fonctions constantes et est séparante ( $\forall x \neq y,\, \exists f \in H : f(x) \neq f(y)$ ), alors $H$ est dense dans $C(X;\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ .

La méthode

1
Vérifier que $(X,d)$ est un espace métrique compact.
2
Vérifier que $H$ est une sous-algèbre de $C(X;\mathbb{R})$ : pour tous $f,g \in H$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ , on a $f+g \in H$ , $\lambda f \in H$ , $fg \in H$ .
3
Vérifier que $H$ contient les fonctions constantes (la fonction $x \mapsto 1$ appartient à $H$ ).
4
Vérifier que $H$ est séparante : pour tous $x \neq y$ dans $X$ , il existe $f \in H$ telle que $f(x) \neq f(y)$ .
5
Conclure par le théorème de Stone-Weierstrass réel : $H$ est dense dans $C(X;\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ , i.e. toute $g \in C(X;\mathbb{R})$ est limite uniforme de fonctions de $H$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Montrer que l'espace des polynômes $\mathbb{R}[x]$ est dense dans $C([0,1];\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ (théorème de Weierstrass classique).

Étape 1 —

Vérifier que

(X,d)

est un espace métrique compact.

$X = [0,1]$ muni de la distance usuelle est un espace métrique compact.

Étape 2 —

Vérifier que

H

est une sous-algèbre de

C(X;\mathbb{R})

: pour tous

f,g \in H

\lambda \in \mathbb{R}

, on a

f+g \in H

\lambda f \in H

fg \in H

$H = \mathbb{R}[x]$ est une sous-algèbre de $C([0,1];\mathbb{R})$ : stable par somme ( $P+Q$ ), produit scalaire ( $\lambda P$ ) et produit ( $PQ$ ).

Étape 3 —

Vérifier que

H

contient les fonctions constantes (la fonction

x \mapsto 1

appartient à

H

$H$ contient les fonctions constantes (polynômes de degré 0).

Étape 4 —

Vérifier que

H

est séparante : pour tous

x \neq y

dans

X

, il existe

f \in H

telle que

f(x) \neq f(y)

$H$ est séparante : pour $x \neq y$ dans $[0,1]$ , la fonction $f(t) = t$ vérifie $f(x) = x \neq y = f(y)$ .

Étape 5 —

Conclure par le théorème de Stone-Weierstrass réel :

H

est dense dans

C(X;\mathbb{R})

pour

\|\cdot\|_\infty

, i.e. toute

g \in C(X;\mathbb{R})

est limite uniforme de fonctions de

H

Par Stone-Weierstrass réel, $\mathbb{R}[x]$ est dense dans $C([0,1];\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ : c'est exactement le théorème de Weierstrass classique.

Les polynômes sont denses dans $C([0,1];\mathbb{R})$ pour la norme uniforme.

Application guidée

Montrer que les fonctions de la forme $(x,y) \mapsto \sum_{i,j} a_{ij} f_i(x) g_j(y)$ (combinaisons finies de produits de fonctions continues) sont denses dans $C([0,1]^2;\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ .

Application autonome 1

Montrer que les fonctions lipschitziennes sur $[0,1]$ sont denses dans $C([0,1];\mathbb{R})$ pour $\|\cdot\|_\infty$ .

Application autonome 2

Montrer que les polynômes en $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ sont denses dans l'espace des fonctions continues $2\pi$ -périodiques à valeurs réelles.

Application autonome 3

Soit $A$ la sous-algèbre de $C([0,1];\mathbb{R})$ des fonctions $f$ vérifiant $f(0) = f(1)$ . Est-elle dense dans $C([0,1];\mathbb{R})$ ?

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que HHH est une sous-algèbre séparante contenant les constantes (théorème de Stone-Weierstrass réel)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $H$ est une sous-algèbre séparante contenant les constantes (théorème de Stone-Weierstrass réel)