Comment approcher uniformément une fonction continue sur un segment par des polynômes ? | MetMat

Comment approcher uniformément une fonction continue sur un segment par des polynômes ?

En construisant explicitement les polynômes de Bernstein $B_n(f)$ et en montrant leur convergence uniforme vers $f$

Construire explicitement les polynômes de Bernstein et prouver leur convergence uniforme vers toute $f \in C([0,1];\mathbb{R})$ .

L'objectif

Construire explicitement les polynômes de Bernstein et prouver leur convergence uniforme vers toute $f \in C([0,1];\mathbb{R})$ .

Le principe

Les polynômes de Bernstein $B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f\!\left(\frac{k}{n}\right) x^k (1-x)^{n-k}$ convergent uniformément vers $f$ sur $[0,1]$ ; la preuve repose sur les identités $\sum_k R_{n,k}(x) = 1$ , $\sum_k k\, R_{n,k}(x) = nx$ , $\sum_k (k - nx)^2 R_{n,k}(x) = nx(1-x)$ (où $R_{n,k}(x) = \binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}$ ) qui permettent de majorer $|f(x) - B_n(f)(x)|$ uniformément en $x$ .

La méthode

1
Définir les polynômes de Bernstein pour $f \in C([0,1];\mathbb{R})$ : $B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f\!\left(\frac{k}{n}\right) x^k (1-x)^{n-k}.$
2
Poser $R_{n,k}(x) = \binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}$ et vérifier les identités clés : $\sum_{k=0}^n R_{n,k}(x) = 1$ , $\sum_{k=0}^n k\, R_{n,k}(x) = nx$ , $\sum_{k=0}^n (k-nx)^2 R_{n,k}(x) = nx(1-x)$ .
3
Utiliser la continuité uniforme de $f$ sur $[0,1]$ (compacité + Heine) : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $|s-t| \leq \delta \Rightarrow |f(s)-f(t)| \leq \varepsilon$ . Décomposer $|f(x) - B_n(f)(x)|$ en la somme sur $|k/n - x| \leq \delta$ (contribution $\leq \varepsilon$ ) et sur $|k/n - x| > \delta$ (contribution $\leq \frac{2\|f\|_\infty}{n \delta^2} \cdot nx(1-x) \leq \frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2}$ ).
4
Conclure que $\|f - B_n(f)\|_{\infty} \leq \varepsilon + \frac{\|f\|_{\infty}}{2n\delta^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$ , d'où la convergence uniforme.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $B_2(f)$ pour $f(x) = x^2$ sur $[0,1]$ et vérifier que $B_n(f) \to f$ uniformément.

Étape 1 —

Définir les polynômes de Bernstein pour

f \in C([0,1];\mathbb{R})

B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f\!\left(\frac{k}{n}\right) x^k (1-x)^{n-k}.

$B_2(f)(x) = \sum_{k=0}^{2} \binom{2}{k} f\!\left(\frac{k}{2}\right) x^k (1-x)^{2-k} = \binom{2}{0} \cdot 0 \cdot (1-x)^2 + \binom{2}{1} \cdot \frac{1}{4} \cdot x(1-x) + \binom{2}{2} \cdot 1 \cdot x^2$ .

Étape 2 —

Poser

R_{n,k}(x) = \binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}

et vérifier les identités clés :

\sum_{k=0}^n R_{n,k}(x) = 1

\sum_{k=0}^n k\, R_{n,k}(x) = nx

\sum_{k=0}^n (k-nx)^2 R_{n,k}(x) = nx(1-x)

$R_{n,k}(x) = \binom{2}{k} x^k (1-x)^{2-k}$ . Les identités : $\sum_k R_{2,k} = 1$ , $\sum_k k R_{2,k} = 2x$ , $\sum_k (k-2x)^2 R_{2,k} = 2x(1-x)$ .

Étape 3 —

Utiliser la continuité uniforme de

f

sur

[0,1]

(compacité + Heine) : pour tout

\varepsilon > 0

, il existe

\delta > 0

tel que

|s-t| \leq \delta \Rightarrow |f(s)-f(t)| \leq \varepsilon

. Décomposer

|f(x) - B_n(f)(x)|

en la somme sur

|k/n - x| \leq \delta

(contribution

\leq \varepsilon

) et sur

|k/n - x| > \delta

(contribution

\leq \frac{2\|f\|_\infty}{n \delta^2} \cdot nx(1-x) \leq \frac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2}

$B_2(f)(x) = 0 + \frac{1}{2} x(1-x) + x^2 = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{2} + x^2 = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} = x^2 + \frac{x(1-x)}{2}$ . La continuité uniforme de $f = x^2$ sur $[0,1]$ garantit (par la majoration générale) $\|f - B_n(f)\|_\infty \to 0$ .

Étape 4 —

Conclure que

\|f - B_n(f)\|_{\infty} \leq \varepsilon + \frac{\|f\|_{\infty}}{2n\delta^2} \to 0

quand

n \to +\infty

, d'où la convergence uniforme.

$B_n(x^2)(x) = x^2 + \frac{x(1-x)}{n} \to x^2$ uniformément sur $[0,1]$ (car $x(1-x) \leq 1/4$ , donc $\|B_n(f)-f\|_\infty \leq \frac{1}{4n} \to 0$ ).

$B_n(x^2)(x) = x^2 + \frac{x(1-x)}{n}$ converge uniformément vers $x^2$ sur $[0,1]$ .

Application guidée

Montrer que $f(x) = |x - 1/2|$ est limite uniforme de polynômes sur $[0,1]$ via les polynômes de Bernstein.

Application autonome 1

(Exercice 39 du poly) Vérifier les identités sur $R_{n,k}$ et en déduire la convergence uniforme de $B_n(f)$ pour $f$ continue sur $[0,1]$ .

Application autonome 2

Calculer $B_1(f)$ et $B_3(f)$ pour $f(x) = x(1-x)$ et interpréter.

Application autonome 3

Montrer par Bernstein que $f(x) = \cos(\pi x)$ est limite uniforme de polynômes sur $[0,1]$ .

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En construisant explicitement les polynômes de Bernstein Bn(f)B_n(f)Bn​(f) et en montrant leur convergence uniforme vers fff

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En construisant explicitement les polynômes de Bernstein $B_n(f)$ et en montrant leur convergence uniforme vers $f$