En montrant que $(f_n)$ est une suite de Cauchy pour $\|\cdot\|_\infty$ dans le Banach $C(X; \mathbb{K})$

Établir la convergence uniforme de $(f_n)$ dans $C(X; \mathbb{K})$ en montrant que c'est une suite de Cauchy pour $\|\cdot\|_\infty$ , et en concluant par la complétude de l'espace.

L'objectif

Établir la convergence uniforme de $(f_n)$ dans $C(X; \mathbb{K})$ en montrant que c'est une suite de Cauchy pour $\|\cdot\|_\infty$ , et en concluant par la complétude de l'espace.

Le principe

L'espace $(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$ est un espace de Banach (complet) dès que $X$ est compact ; toute suite de Cauchy y converge. Il suffit donc de vérifier le critère de Cauchy : $\forall \varepsilon > 0,\, \exists N,\, \forall m,n \geq N,\, \|f_m - f_n\|_\infty < \varepsilon$ .

La méthode

1
Rappeler que $(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$ est complet (espace de Banach) lorsque $X$ est un espace métrique compact.
2
Fixer $\varepsilon > 0$ et majorer $\|f_m - f_n\|_\infty = \sup_{x \in X} |f_m(x) - f_n(x)|$ par une expression tendant vers $0$ quand $m, n \to \infty$ , indépendante de $x$ .
3
Trouver $N$ tel que pour $m, n \geq N$ , la majoration soit $< \varepsilon$ . Conclure que $(f_n)$ est de Cauchy dans $(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$ , donc converge uniformément.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $\sum_{n \geq 0} g_n$ une série de fonctions continues sur $[0,1]$ telle que $\sum_{n \geq 0} \|g_n\|_\infty < \infty$ (série normalement convergente). Montrer que la série converge uniformément sur $[0,1]$ .

Étape 1 —

Rappeler que

(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)

est complet (espace de Banach) lorsque

X

est un espace métrique compact.

$(C([0,1]; \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ est un espace de Banach.

Étape 2 —

Fixer

\varepsilon > 0

et majorer

\|f_m - f_n\|_\infty = \sup_{x \in X} |f_m(x) - f_n(x)|

par une expression tendant vers

0

quand

m, n \to \infty

, indépendante de

x

Posons $S_n = \sum_{k=0}^n g_k$ . Pour $m > n$ , $\|S_m - S_n\|_\infty = \left\|\sum_{k=n+1}^m g_k\right\|_\infty \leq \sum_{k=n+1}^m \|g_k\|_\infty$ . Comme $\sum \|g_k\|_\infty$ converge, le reste $\sum_{k=n+1}^\infty \|g_k\|_\infty \to 0$ .

Étape 3 —

Trouver

N

tel que pour

m, n \geq N

, la majoration soit

< \varepsilon

. Conclure que

(f_n)

est de Cauchy dans

(C(X; \mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)

, donc converge uniformément.

Fixer $\varepsilon > 0$ : il existe $N$ tel que $\sum_{k=n+1}^m \|g_k\|_\infty < \varepsilon$ pour $m > n \geq N$ . Donc $(S_n)$ est de Cauchy dans $(C([0,1]; \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ , et converge uniformément.

La convergence normale implique que $(S_n)$ est de Cauchy dans le Banach $(C([0,1]; \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ , donc la série converge uniformément sur $[0,1]$ .

Application guidée

Soit $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ définie par $f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$ . Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $f(x) = e^x$ .

Application autonome 1

Soit $(f_n)$ une suite dans $C([0,1]; \mathbb{R})$ telle que $\|f_{n+1} - f_n\|_\infty \leq r^n$ pour une constante $r \in ]0,1[$ . Montrer que $(f_n)$ converge uniformément.

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En montrant que (fn)(f_n)(fn​) est une suite de Cauchy pour ∥⋅∥∞\|\cdot\|_\infty∥⋅∥∞​ dans le Banach C(X;K)C(X; \mathbb{K})C(X;K)

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En montrant que $(f_n)$ est une suite de Cauchy pour $\|\cdot\|_\infty$ dans le Banach $C(X; \mathbb{K})$