En majorant explicitement $\sup_x |f_n(x) - f(x)|$ et en montrant que ce supremum tend vers $0$

Établir que $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0$ en fournissant une majoration explicite de ce supremum en fonction de $n$ .

L'objectif

Établir que $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0$ en fournissant une majoration explicite de ce supremum en fonction de $n$ .

Le principe

La convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$ sur $X$ équivaut à $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ ; pour l'établir, il suffit de trouver une suite $(a_n) \to 0$ indépendante de $x$ telle que $|f_n(x) - f(x)| \leq a_n$ pour tout $x \in X$ .

La méthode

1
Identifier la limite candidate $f$ (souvent obtenue par convergence simple) et écrire l'écart $|f_n(x) - f(x)|$ pour $x \in X$ quelconque.
2
Majorer $|f_n(x) - f(x)|$ par une expression $a_n$ ne dépendant pas de $x$ (calcul direct, inégalité algébrique, développement limité, etc.).
3
Montrer que $a_n \to 0$ quand $n \to \infty$ . Conclure que $\|f_n - f\|_\infty \leq a_n \to 0$ , donc $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ .

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Exercice d'exemple

Soit $f_n : x \mapsto \frac{x}{1 + nx^2}$ définie sur $[0, 1]$ . Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f = 0$ sur $[0,1]$ .

Étape 1 —

Identifier la limite candidate

f

(souvent obtenue par convergence simple) et écrire l'écart

|f_n(x) - f(x)|

pour

x \in X

quelconque.

La limite simple est $f(x) = 0$ pour tout $x \in [0,1]$ (pour $x = 0$ , $f_n(0) = 0$ ; pour $x > 0$ , $f_n(x) = x/(1+nx^2) \to 0$ ). L'écart est $|f_n(x) - 0| = \frac{x}{1+nx^2}$ .

Étape 2 —

Majorer

|f_n(x) - f(x)|

par une expression

a_n

ne dépendant pas de

x

(calcul direct, inégalité algébrique, développement limité, etc.).

Majorer indépendamment de $x$ : par AM-GM, $1 + nx^2 \geq 2\sqrt{n} x$ pour $x > 0$ , donc $\frac{x}{1+nx^2} \leq \frac{x}{2\sqrt{n}x} = \frac{1}{2\sqrt{n}}$ . Ainsi $|f_n(x)| \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$ pour tout $x \in [0,1]$ .

Étape 3 —

Montrer que

a_n \to 0

quand

n \to \infty

. Conclure que

\|f_n - f\|_\infty \leq a_n \to 0

, donc

(f_n)

converge uniformément vers

f

$a_n = \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$ . On a $\|f_n\|_\infty \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$ , donc $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0,1]$ .

$(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0,1]$ : $\|f_n\|_\infty \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$ .

Application guidée

Soit $f_n : x \mapsto \frac{\sin(nx)}{n}$ sur $[0, 2\pi]$ . Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, 2\pi]$ .

Application autonome 1

Soit $f_n : x \mapsto x^n(1-x)$ sur $[0, 1]$ . Déterminer la limite simple et montrer la convergence uniforme vers cette limite.

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En majorant explicitement sup⁡x∣fn(x)−f(x)∣\sup_x |f_n(x) - f(x)|supx​∣fn​(x)−f(x)∣ et en montrant que ce supremum tend vers 000

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En majorant explicitement $\sup_x |f_n(x) - f(x)|$ et en montrant que ce supremum tend vers $0$